如图1,已知△ABC中,AB＝BC＝1,∠ABC＝90°,把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上将直角三角形DEF绕D点按逆时针方向旋转.①：在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N,证明DM＝DN.②：继续旋转至

如图1,已知△ABC中,AB＝BC＝1,∠ABC＝90°,把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上将直角三角形DEF绕D点按逆时针方向旋转.①：在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N,证明DM＝DN.②：继续旋转至
如图1,已知△ABC中,AB＝BC＝1,∠ABC＝90°,把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上
将直角三角形DEF绕D点按逆时针方向旋转.
①：在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N,证明DM＝DN.
②：继续旋转至如图2的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM＝DN是否仍然成立?若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由.
③：继续旋转至如图3的位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM＝DN是否仍然成立?若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由.

如图1,已知△ABC中,AB＝BC＝1,∠ABC＝90°,把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上将直角三角形DEF绕D点按逆时针方向旋转.①：在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N,证明DM＝DN.②：继续旋转至
①连接BD,
∵AB=BC ∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠A=∠C=45°
∵D是AC的中点
∴BD是△ABC的中线
∴BD是△ABC的高
∴∠BDC=90°
∴∠DBC=45°=∠DCB
∴BD=CD=AD
∴∠DBC=∠DAB=45°
∵∠EDF=90°=∠ADB ∠EDB为公共角
∴∠ADM=∠BDN
∴△ADM≌△BDN(ASA)
∴DM=DN.
②四边形DMBN的面积不发生变化,理由如下：
由①可知S△ADM=S△BDN
∴S四边形DMBN=S△ADB
已知△ADB的面积是一个定值
∴四边形DMBN的面积不发生变化
∵AB=AC=1,S△ADB=1/2S△ABC
∴S四边形DMBN=S△ABD=1/2S△ABC=1/4

证明：

证明：（1）连接BD

∵AB=BC，∠ABC=90°，点D为AC的中点

∴BD⊥AC，∠A=∠C=45°

∴BD=AD=CD

∴∠ABD=∠A=45°

∴∠MBD=∠C=45°

∵∠MDB+∠BDN=90°

∠NDC+∠BDN=90°

∴∠MDB=∠NDC

在△MDB和△NDC中{∠MBD=∠CBD=CD∠MDB=∠NDC

∴△MDB≌△NDC（ASA）

∴DM=DN

（2）DM=DN仍然成立．理由如下：连接BD，

由（1）知BD⊥AC，BD=CD

∴∠ABD=∠ACD=45°

∵BD⊥AC

∴∠MDB+∠MDC=90°

又∠NDC+∠MDC=90°

∴∠MDB=∠NDC

在△MDB和△NDC中{∠MBD=∠NCDBD=CD∠MDB=∠NDC

∴△MDB≌△NDC（ASA）   

∴DM=DN

（3）是 

点评：本题利用ASA求三角形全等，还运用了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，及等腰三角形三线合一定理，勾股定理和面积公式的利用等知识．

证明：（1）连接BD
∵AB=BC，∠ABC=90°，点D为AC的中点
∴BD⊥AC，∠A=∠C=45°
∴BD=AD=CD
∴∠ABD=∠A=45°
∴∠MBD=∠C=45°
∵∠MDB+∠BDN=90°
∠NDC+∠BDN=90°
∴∠MDB=∠NDC
在△MDB和△NDC中{∠MBD=∠CBD=CD∠MDB=∠NDC

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证明：（1）连接BD
∵AB=BC，∠ABC=90°，点D为AC的中点
∴BD⊥AC，∠A=∠C=45°
∴BD=AD=CD
∴∠ABD=∠A=45°
∴∠MBD=∠C=45°
∵∠MDB+∠BDN=90°
∠NDC+∠BDN=90°
∴∠MDB=∠NDC
在△MDB和△NDC中{∠MBD=∠CBD=CD∠MDB=∠NDC
∴△MDB≌△NDC（ASA）
∴DM=DN
（2）DM=DN仍然成立．理由如下：连接BD，
由（1）知BD⊥AC，BD=CD
∴∠ABD=∠ACD=45°
∵BD⊥AC
∴∠MDB+∠MDC=90°
又∠NDC+∠MDC=90°
∴∠MDB=∠NDC
在△MDB和△NDC中{∠MBD=∠NCDBD=CD∠MDB=∠NDC
∴△MDB≌△NDC（ASA）
∴DM=DN
（3）是
点评：本题利用ASA求三角形全等，还运用了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，及等腰三角形三线合一定理，勾股定理和面积公式的利用等知识．

收起

证明：（1）①如图1，连接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，

∴DB=DC=AD，∠BDC=90°，

∴∠ABD=∠C=45°，

∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，

∴∠MDB=∠NDC，

∴△BMD≌△CND，

∴DM=DN；

②四边形DMBN的面积不发生变化；

由①知△BMD≌△CND，

∴S△BMD=S△CND，

∴S四边形DMBN=S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC=S△DBC= 12S△ABC= 12× (22)2= 1/4；

（2）DM=DN仍然成立；

证明：如上图2，连接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，

∴DB=DC，∠BDC=90°，

∴∠DCB=∠DBC=45°，

∴∠DBM=∠DCN=135°，

∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°，

∴∠CDN=∠BDM，

∴△BMD≌△CND，

∴DM=DN．

（3）DM=DN

以上均成立。都应用正弦定理证明。
①：在四边形BNDM中，∠BMD+∠BND=360°-90°-90°=180°，∠AMD+∠DNC=180°
在△AMD与△DNC中AD/sin∠AMD=DM/sin∠A，DC/sin∠DNC=DN/sin∠C
而AD=DC，∠A=∠C=45°，sin∠AMD=sin180°-∠DNC=sin∠DNC，sin∠A=sin∠C...

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以上均成立。都应用正弦定理证明。
①：在四边形BNDM中，∠BMD+∠BND=360°-90°-90°=180°，∠AMD+∠DNC=180°
在△AMD与△DNC中AD/sin∠AMD=DM/sin∠A，DC/sin∠DNC=DN/sin∠C
而AD=DC，∠A=∠C=45°，sin∠AMD=sin180°-∠DNC=sin∠DNC，sin∠A=sin∠C
所以DM＝DN
②：设DE交BC于G，则△BMG与△DNG中，对顶角的余角相等，∠AMD=∠DNC
在△AMD与△DNC中AD/sin∠AMD=DM/sin∠A，DC/sin∠DNC=DN/sin∠DCN
而AD=DC，∠A=45°，∠DCN=180°-45°=135°，sin∠A=sin∠DCN
sin∠AMD=sin∠DNC， 所以DM＝DN
③：在四边形BNDM中，∠BMD+∠BND=360°-90°-90°=180°，∠AMD+∠DNC=180°
在△AMD与△DNC中AD/sin∠AMD=DM/sin∠A，DC/sin∠DNC=DN/sin∠C
而AD=DC，∠A=∠C=45°，sin∠AMD=sin180°-∠DNC=sin∠DNC，sin∠A=sin∠C
所以DM＝DN

收起

（1）①如图1，连接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴DB=DC=AD，∠BDC=90°，
∴∠ABD=∠C=45°，
∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，
∴∠MDB=∠NDC，
∴△BMD≌△CND，
∴DM=DN；
②四边形DMBN的面积不发生变化；
由①知△BMD≌△CND，
∴S△BM...

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（1）①如图1，连接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴DB=DC=AD，∠BDC=90°，
∴∠ABD=∠C=45°，
∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，
∴∠MDB=∠NDC，
∴△BMD≌△CND，
∴DM=DN；
②四边形DMBN的面积不发生变化；
由①知△BMD≌△CND，
∴S△BMD=S△CND
∴S四边形DMBN=S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC=S△DBC=二分之一S△ABC=二分之一*（二分之根号二）的平方=4分之一，
（2）DM=DN仍然成立；
证明：如图2，连接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴DB=DC，∠BDC=90°，
∴∠DCB=∠DBC=45°，
∴∠DBM=∠DCN=135°，
∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°，
∴∠CDN=∠BDM，
∴△BMD≌△CND，
∴DM=DN．


（3）DM=DN．

收起

证明：（1）连接BD

∵AB=BC，∠ABC=90°，点D为AC的中点

∴BD⊥AC，∠A=∠C=45°

∴BD=AD=CD

∴∠ABD=∠A=45°

∴∠MBD=∠C=45°

∵∠MDB+∠BDN=90°

∠NDC+∠BDN=90°

∴∠MDB=∠NDC

在△MDB和△NDC中{∠MBD=∠CBD=CD∠MDB=∠NDC

∴△MDB≌△NDC（ASA）

∴DM=DN

（2）DM=DN仍然成立．理由如下：连接BD，

由（1）知BD⊥AC，BD=CD

∴∠ABD=∠ACD=45°

∵BD⊥AC

∴∠MDB+∠MDC=90°

又∠NDC+∠MDC=90°

∴∠MDB=∠NDC

在△MDB和△NDC中{∠MBD=∠NCDBD=CD∠MDB=∠NDC

∴△MDB≌△NDC（ASA）    

∴DM=DN

（3）是 

点评：本题利用ASA求三角形全等，还运用了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，及等腰三角形三线合一定理，勾股定理和面积公式的利用等知识．