在Rt三角形ABC中,角ACB=45度,角BAC=90度,点D是AB的中点,AF垂直CD于H交BC于F,BE平行AC交AF的延长线于E,求证:BC垂直且平分DE.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 02:05:20
在Rt三角形ABC中,角ACB=45度,角BAC=90度,点D是AB的中点,AF垂直CD于H交BC于F,BE平行AC交AF的延长线于E,求证:BC垂直且平分DE.
在Rt三角形ABC中,角ACB=45度,角BAC=90度,点D是AB的中点,AF垂直CD于H交BC于F,
BE平行AC交AF的延长线于E,求证:BC垂直且平分DE.
在Rt三角形ABC中,角ACB=45度,角BAC=90度,点D是AB的中点,AF垂直CD于H交BC于F,BE平行AC交AF的延长线于E,求证:BC垂直且平分DE.
设DE和BC交于P
在△ADC中,∠DAH+∠ADH=90°,∠ACH+∠ADH=90°,
∴∠DAH=∠DCA,
∵∠BAC=90°,BE∥AC,
∴∠CAD=∠ABE=90°.
又∵AB=CA,
∴在△ABE与△CAD中,
∠DAH=∠DCA,∠CAD=∠ABEAB=AC
∴△ABE≌△CAD(ASA),
∴AD=BE,
又∵AD=BD,
∴BD=BE,
在Rt△ABC中,∠ACB=45°,∠BAC=90°,AB=AC,
故∠ABC=45°.
∵BE∥AC,
∴∠EBD=90°,∠EBF=90°-45°=45°,
∴△DBP≌△EBP(SAS),
∴DP=EP,
即可得出BC垂直且平分DE.
取BC中点M,连接MD,先△ADC≌△ABE,再四边形BDEM是正方形,问题解决
证明:
∵∠BAC=90°,AH⊥CD
∴∠BAE+∠CAH=∠ACD+∠CAH=90°
∴∠BAE-∠ACD
∵AC=AB,∠ABE=∠CAD=90°
∴△ABE≌△ACD
∴AD=BE
∵AD=BD
∴BD=BE
∵∠DBC=∠EBC=45°
∴BC垂直平分DE(等腰三角形三线合一)