当α.β取何值时,函数f(x)= x^αcos(1/x) x>0 β+(sinx)^2 x≤0 在x=0处连续; 何时在x=o处可导
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 22:29:19
当α.β取何值时,函数f(x)= x^αcos(1/x) x>0 β+(sinx)^2 x≤0 在x=0处连续; 何时在x=o处可导
当α.β取何值时,函数f(x)= x^αcos(1/x) x>0 β+(sinx)^2 x≤0 在x=0处连续; 何时在x=o处可导
当α.β取何值时,函数f(x)= x^αcos(1/x) x>0 β+(sinx)^2 x≤0 在x=0处连续; 何时在x=o处可导
答案见图片,欢迎追问.
1、 limf(x)=lim[β+(sinx)^2]=β
x->-0 x->-0
f(0)=β+(sin0)^2=β
则须limf(x)=lim[x^αcos(1/x) ]=β
x->+0 x->+0
因x->+0时cos(1/x) 无极限，故须α>0，进而β=0。
2、 limf'(x...
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1、 limf(x)=lim[β+(sinx)^2]=β
x->-0 x->-0
f(0)=β+(sin0)^2=β
则须limf(x)=lim[x^αcos(1/x) ]=β
x->+0 x->+0
因x->+0时cos(1/x) 无极限，故须α>0，进而β=0。
2、 limf'(x)=lim[2sinxcosx]=0
x->-0 x->-0
limf’(x)= lim{α*x^(α-1)*cos(1/x) +x^α*[-sin(1/x)]*(-1/x^2)]}
x->+0 x->+0
= lim[α*x^(α-1)*cos(1/x) +x^(α-2)*sin(1/x)]
x->+0
= lim√{[α*x^(α-1)]^2+[x^(α-2)]^2}*sin(1/x+φ)=lim x^(α-2)*sin(1/x+φ)
x->+0 x->+0
同样道理，因x->+0 时，sin(1/x+φ)无极限，故须α-2>0，得α>2，此时有f’(+0)= 0。
也即，当α>2，β=0时f(x)在x=0处可导。
收起
1、按连续的定义 limf(x)=lim[β+(sinx)^2]=β
x->-0 x->-0
f(0)=β+(sin0)^2=β
则须limf(x)=lim[x^αcos(1/x) ]= f(0)
x->+0 x->+0
因x->+0时cos(1/x) ...
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1、按连续的定义 limf(x)=lim[β+(sinx)^2]=β
x->-0 x->-0
f(0)=β+(sin0)^2=β
则须limf(x)=lim[x^αcos(1/x) ]= f(0)
x->+0 x->+0
因x->+0时cos(1/x) 无极限，需β=0才可能有极限值。进而还需α-1>0才可以.
2、 按导数定义需limf(x)=limf(x) , 仍同上处理,结果是一样的
x->-0 x->+0
收起
x=0处连续,只要x趋向于0处x^αcos(1/x) =β+(sinx)^2 就可以了;
在x=0处可导,就必须求出它们的导数,并且在x趋向于0出相等.
f(x)左极限等于右极限等于f（X）在0处的函数值，列两个方程就可以解除α.β的值