高一上期末数学考试解题疑问：10,对于函数f（x）=cosx+sinx,给出下列四个命题：1）存在a∈(0,π/2),使f(a)=4/3;2)存在a∈(0,π/2),使f(x+a)=f(x+3a) 3) 存在φ∈R,使函数f(x+φ)的图像关于y轴对称4）函数f（x
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 18:41:28
高一上期末数学考试解题疑问：10,对于函数f（x）=cosx+sinx,给出下列四个命题：1）存在a∈(0,π/2),使f(a)=4/3;2)存在a∈(0,π/2),使f(x+a)=f(x+3a) 3) 存在φ∈R,使函数f(x+φ)的图像关于y轴对称4）函数f（x
高一上期末数学考试解题疑问：10,对于函数f（x）=cosx+sinx,给出下列四个命题：
1）存在a∈(0,π/2),使f(a)=4/3;
2)存在a∈(0,π/2),使f(x+a)=f(x+3a) 3) 存在φ∈R,使函数f(x+φ)的图像关于y轴对称
4）函数f（x）的图像关于点(3π/4,0)对称
其中正确命题的个数是
A 1 B 2 C 3 D 4
1.f（x）=cosx+sinx=√2sin(x+π/4),
当x∈（0,π/2）时,(x+π/4) ∈（π/4,3π/4）,
所以sin(x+π/4) ∈（√2/2,1）,f（x）∈（1,√2）,
而4/3∈（1,√2）,所以第一个命题成立.
2.f(x+α)=f(x+3α),说明函数的周期是2α,
而f（x）=cosx+sinx=√2sin(x+π/4)的最小正周期是2π,
则2α=2π,α=π.π不属于（0,π/2）.
所以第二个命题不成立.
3.θ=π/4时,f(x+θ)= √2sin(x+π/4+π/4)= √2sin(x+π/2) =√2cosx是偶函数,偶函数的图像关于y轴对称.
所以存在θ=π/4,使函数f(x+θ)的图象关于y轴对称,该命题成立.
4.x=3π/4时,f（3π/4）=√2sin(3π/4 +π/4)=0,所以图象关于点（3π/4,0）对称,该命题成立
4.x=3π/4时,f（3π/4）=√2sin(3π/4 +π/4)=0,为什么x=3π/4时,f（3π/4）=0就说明图像关于点（3π/4,0）对称,能说明点（3π/4,0）在图像上呀?
高一上期末数学考试解题疑问：10,对于函数f（x）=cosx+sinx,给出下列四个命题：1）存在a∈(0,π/2),使f(a)=4/3;2)存在a∈(0,π/2),使f(x+a)=f(x+3a) 3) 存在φ∈R,使函数f(x+φ)的图像关于y轴对称4）函数f（x
函数关于一个点（a,b）对称的充要条件是
1、定义域关于a对称,即对于每一个定义域内的x1总有唯一一个x2,使x1+x2=2a
2、对于定义域内任意的x1,x2(x1+x2=2a)有f(x1)+f(x2)=2b
满足以上两个条件,则函数f(x)关于点（a,b）对称
证：3π/4+3π/4=3π/2,0+0=0
f（x）=cosx+sinx,x属于R,显然条件1成立
对于f(x)上任意的x1,有f(x1)=cosx1+sinx1
设x2=3π/2-x1,f(x2)=sinx2+cosx2=sin(3π/2-x1)+cos(3π/2-x1)=-cosx1-sinx1
所以f(x1)+f(x2)=0,条件2成立
综上所述函数f（x）的图像关于点(3π/4,0)对称
可能有些不严谨,不过大致思路是这样