求函数y=(2sinθ-1)/(1+cosθ)的值域,最好用数形结合法
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/09 02:56:19
求函数y=(2sinθ-1)/(1+cosθ)的值域,最好用数形结合法
求函数y=(2sinθ-1)/(1+cosθ)的值域,
最好用数形结合法
求函数y=(2sinθ-1)/(1+cosθ)的值域,最好用数形结合法
这道题用数形结合并不觉得有多好,用万能代换更简单.
先用万能代换解,稍后再用数形结合的方法解（因为需要画图,不是那么方便）
如果不对θ加以限制,那么,可设θ∈[0, 2π),
设t=tan (θ/2),则t∈R,
sinθ=2t/(1+t^2),cosθ=(1-t^2)/(1+t^2),
于是y=[4t/(1+t^2)-1]/[1+(1-t^2)/(1+t^2)]
=[4t-(1+t^2)]/[(1-t^2)+(1+t^2)]
=(4t-1-t^2)/2
=-(t-2)^2/2+3/2,
当t=2时,y有最大值3/2,故值域为(-∞, 3/2].
数形结合的方法：
y=(2sinθ-1)/(1+cosθ)=2*(sinθ-1/2)/(cosθ-(-1)),
只需要求出(sinθ-1/2)/(cosθ-(-1))的值域即可,而这个值是点P(cosθ, sinθ)、A(-1, 1/2)连线的斜率.
点P在单位圆上,如图所示.
从图可以看出,PA的最小倾角为-π/2,斜率为-∞；最大倾角为∠B1AB2-π/2,容易算出,tan(∠B1AB2-π/2)=cot(2*arctan(1/2))=3/4,此时y=2*3/4=3/2.
故y的值域为(-∞, 3/2].
其实不用什么 数形结合 靠图形斜率什么的 那样一样要计算
我给你一个 此类方法中不易出错 且 操作最简的方法
首先 分母成过来 y+ycosθ=2sinθ-1
三角放一边 ycosθ-2sinθ=-y-1
化为辅助角 A为参数 sqr(y^2+4)sin(θ+A)=-y-1
除过去 sin(θ+A)=(-y-1)/(sqr(y^2+4))
...
全部展开
其实不用什么 数形结合 靠图形斜率什么的 那样一样要计算
我给你一个 此类方法中不易出错 且 操作最简的方法
首先 分母成过来 y+ycosθ=2sinθ-1
三角放一边 ycosθ-2sinθ=-y-1
化为辅助角 A为参数 sqr(y^2+4)sin(θ+A)=-y-1
除过去 sin(θ+A)=(-y-1)/(sqr(y^2+4))
利用三角值域 |sin(θ+A)|<=1 得 |(-y-1)/(sqr(y^2+4))|<=1
分母乘过去 两边平方即可 （y+1）^2<=y^+4
y^2+1+2y-y^2<=4
2y<=3
y<=3/2
是不是很好操作 不知道这个方法 对你有帮助么
收起
将 原式 提出 2
变成=2 (sinθ-0.5)/(1+cosθ)
再看做 斜率 来做
不就行了 ？