叙述并证明勾股定理的逆定理

叙述并证明勾股定理的逆定理
叙述并证明勾股定理的逆定理

叙述并证明勾股定理的逆定理
内容：在一个三角形中,两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形
已知△ABC的三边AB=c,BC=a,CA=b,且满足a^2+b^2=c^2,证明∠C=90°.
证法的思路是做一个直角三角形,然后证明它和已知三角形全等,从而已知三角形也是直角三角形. 　　构造一个直角三角形A'B'C',使∠C'=90°,a'=a,b'=b. 　　那么,根据勾股定理,c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2,从而c'=c. 　　在△ABC和△A'B'C'中, 　　a=a' 　　b=b' 　　c=c' 　　∴△ABC≌△A'B'C'. 　　因而,∠C=∠C'=90°.（证毕）

（a的平方+b的平方）的平方根=c的平方

知识技能
1．了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程；
2．理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；
3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形；
4．会运用勾股定理的逆定理解决相关实际问题．

数学思考
1．通过“创设情景—建立模型—实验探究—理论释意—拓展应用”的勾股定理...

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知识技能
1．了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程；
2．理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；
3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形；
4．会运用勾股定理的逆定理解决相关实际问题．

数学思考
1．通过“创设情景—建立模型—实验探究—理论释意—拓展应用”的勾股定理的逆定理的探索过程，经历知识的发生、发展、形成和应用的过程；
2．通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合法的应用．

解决问题
通过勾股定理的逆定理的证明及其应用，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题．

情感态度
1．通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的关系；
2．在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神．

重点
勾股定理的逆定理及其应用．

难点
勾股定理的逆定理的证明．


教学流程安排

活动流程图
活动内容和目的

活动1：动手实践，猜想命题．

活动2：探索归纳，证明命题．

活动3：尝试运用，熟悉定理．

活动4：建构模型，拓展应用．

活动5：类比模仿，巩固新知．

活动6：小结梳理，内化新知．
通过摆放、画三角形，并结合观察、归纳、猜想等一系列探究性活动，得出勾股定理的逆命题．

通过特殊到一般的探索、归纳过程，得到勾股定理的逆定理证法，并结合勾股定理的逆定理与勾股定理之间的关系，理解互逆命题（定理）的概念．

通过课本例1的求解，掌握勾股定理的逆定理及其运用的步骤．

将实际问题（课本例2）数学化，并利用勾股定理的逆定理去解决实际问题，感受勾股定理的逆定理在日常生活中的广泛应用．

通过练习，进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其应用．

反思、总结学习内容，内化认知结构．


教学过程设计

问题与情景
师生行为
设计意图

[活动1]
实践
1．把准备好的一根打了13个等距离结的绳子，按3个结、4个结、5个结的长度为边摆放成一个三角形，请观察并说出此三角形的形状？
2．分别以2.5cm、6cm、6.5cm和4cm、7.5cm、8.5cm为三边画出两个三角形，请观察并说出此三角形的形状？
3．结合三角形三边长度的平方关系，你能猜一猜三角形的三边长度与三角形的形状之间有怎样的关系吗？
学生分组活动，动手操作，并在组内进行交流、讨论的基础上，作出实践性预测．
教师深入小组参与活动，并帮助、指导部分学生完成任务，得出勾股定理的逆命题．在此基础上，介绍：古埃及和我国古代大禹治水都是用这种方法来确定直角的．

在活动1中教师应重点关注：
（1）学生在活动中的参与意识和动手能力；
（2）是否清楚三角形的三边长度的平方关系是因，直角三角形是果，即先有数，后有形．
（3）数形结合的数学思想方法及归纳能力．
通过动手实践、介绍数学史，在对学生进行动手能力培养和数学史教育的同时，体验数与形的内在联系，自然地得出勾股定理的逆命题．


[活动2]
问题
1．三边长度分别为3 cm、4 cm、5 cm的三角形与以3 cm、4 cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？
2．你能证明以2.5cm、6cm、6.5cm为三边长的三角形是直角三角形吗？
3．如图18.2-2，若△ABC的三边长、、满足，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程．

4．此定理与勾股定理之间有怎样的关系？
5．教材84页练习题2．
学生结合活动1的体验，独立思考问题1，通过小组交流、讨论，完成问题2．在此基础上，说出问题3的证明思路．
教师提出问题，并适时诱导，指导学生完成问题3的证明．之后，归纳得出勾股定理的逆定理．在此基础上，类比定理与逆定理的关系，介绍逆命题（定理）的概念，并与学生一起完成问题5．

在活动2中教师应重点关注：
（1）学生能否联想到了“‘全等’，进而设法构造全等三角形”这一问题获解的关键；
（2）学生在问题2中，所表现出来的构造直角三角形的意识；
（3）是否真正地理解了AB=A/B/（如图18.2-2）；
（4）数形结合的意识和由特殊到一般的数学思想方法；
（5）能否准确地找出一个命题的题设和结论．
变“命题+证明=定理”的推理模式为定理的发生、发展、形成的探究过程，把“构造直角三角形”这一方法的获取过程交给学生，让他们在不断的尝试、探究的过程中，亲身体验参与发现的愉悦，有效地突破本节的难点．


通过比较勾股定理及其逆定理的题设和结论，引出互逆命题（定理）概念，并通过问题5，进一步理解互逆命题（定理）的概念及互逆命题之间的关系．

[活动3]
问题
1．例1：判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：
（1）；
（2）．
2．教材84页习题18.2第1题（1）、（3）．
学生说出问题（1）的判断思路，部分学生演板问题2，剩下的学生在课堂作业本上完成．
教师板书问题1的详细解答过程，并纠正学生在练习中出现的问题，最后向学生介绍勾股数的概念．

在活动3中教师应重点关注：
（1）学生的解题过程是否规范；
（2）是不是用两条较小边长的平方和与较大边长的平方进行比较；
（3）是否理解了勾股数的概念，即勾股数必须满足以下两个条件：
①以三个数为边长的三角形是直角三角形；②三个数还必须是正整数．
进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用，理解勾股数的概念，突出本节的教学重点．

[活动4]
问题
例2：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
学生根据题意画出图形（如图18.2-3），并在教师的启发下，给出例2的解答过程．
教师与学生一起完成建模与转化过程，帮助、引导学生完成解答过程，规范解题格式．

在活动4中教师应重点关注：
（1）图形语言和符号语言的表述是否准确；
（2）知道三角形的三边，应用勾股定理逆定理去探究三角形形状的意识；
（3）是否清楚解应用问题的三个基本过程：建立数学模型→求解数学模型→回到实际问题中去；
（3）学生在解决实际问题中所表现出来的数学情感与态度．
从实际生活中所遇到的问题出发，以本节的知识为载体建立数学模型，在利用数学模型（勾股定理的逆定理）去解决实际问题，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，有效的培养学生的应用意识．

[活动5]
1．练习：教材84页练习题1、3．
2．思考：教材85页习题18.2第6题．
部分学生演板，剩余学生在课堂练习本上独立完成．
教师巡视，了解学生对知识的掌握情况．
在活动5中教师应重点关注：
（1）学生在练习中反映出的问题，有针对性地讲解；
（2）学生能否熟练地应用勾股定理的逆定理去分析和解决问题．
及时反馈教学效果，查漏补缺．对学有困难的同学给予鼓励和帮助．

设计一个思考题的目的是，延续探究性学习的时间与空间．

[活动6]
1．小结
2．作业：
（1）必做：教材84页习题18．2第1题（2）、（4）和第2、3题；
（2）选作：教材85页习题18．2第4、5、6题．

教师引导学生回忆本节课所学的知识．
教师布置作业，学生按要求在课外完成．

在活动6中教师应重点关注：
（1）学生对本节内容的知识结构是否清晰；
（2）学生在作业中反映出的问题，应做好记载，找出教、学之不足．
梳理学习内容，养成整理、系统知识的习惯．

加强教、学反思，进一步提高教、学效果．


教学设计说明

本节课是安排在勾股定理之后，主要内容包括，勾股定理的逆定理及其应用、互逆命题（定理）及勾股数的概念，其中前者是重点，勾股定理的逆定理的证明是难点．勾股定理的逆定理既是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形（确定直角）的一种重要方法，除此以外，它还是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材．作为一种数学模型，它在日常生活中（比如，测量等）也有着极其广阔的应用．

考虑到勾股定理逆定理与勾股定理的互逆关系，在教学中，我们首先从勾股定理的反面出发，给出三组数据，让学生通过摆、画三角形的实践，并结合观察、归纳、猜想等一系列探究性活动，得出勾股定理的逆命题．如何突破“勾股定理的逆定理的证明”这一教学难点呢？我们又设计了一个由特殊到一般的探索、归纳过程，来凸现“构造直角三角形”这一问题转化的关键．之后，再不失时机地结合勾股定理的逆定理与勾股定理之间的关系，介绍互逆命题（定理）的概念．对于勾股定理的逆定理应用的教学，充分利用课本提供的两道例题，着眼于“双基”和“应用”这两个层面，来突出本节的教学重点．

本节课立足于创新和学生可持续发展，把教学内容分解为一系列富有探究性的问题，让学生在解决问题的过程中经历知识的发生、发展、形成的过程，把知识的发现权交给学生，让他们在获取知识的过程中，体验成功的喜悦，真正体现学生是学习的主人，教师只是学习的参与者、合作者、引导者．在重视基础知识和基本技能的同时，更关注知识的形成过程及应用数学意识

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