若(1+x+x^2+x^3)^5*(1-x+x^2-x^3)^5=a0+a1x+a2x^2……+a29x^29+a30x^30 则a15=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/22 12:27:38
若(1+x+x^2+x^3)^5*(1-x+x^2-x^3)^5=a0+a1x+a2x^2……+a29x^29+a30x^30 则a15=?
若(1+x+x^2+x^3)^5*(1-x+x^2-x^3)^5=a0+a1x+a2x^2……+a29x^29+a30x^30 则a15=?
若(1+x+x^2+x^3)^5*(1-x+x^2-x^3)^5=a0+a1x+a2x^2……+a29x^29+a30x^30 则a15=?
(1+x+x^2+x^3)^5*(1-x+x^2-x^3)^5
=[(1+x+x^2+x^3)^5*(1-x+x^2-x^3)]^5
=[(1+x^2)²-(x+x^3)²]^5
=[(1+x^2)^2*(1-x^2)]^5
∵ (1+x^2)^2*(1-x^2)展开中只有x的偶数次项,
∴ [(1+x^2)^2*(1-x^2)]^5展开后,没有x的奇数次项,
∴ 没有x^15的项
∴ a15=0
a15的x项的系数为15.
出现15系数的可能组合从第一个括号里选出x^3,第二个括号选出1，系数为1.
从第一括号选出x^2,从第二个括号选出x,系数为-1
同理，可以从第一个括号里选出1，和x,系数为1和-1.
所以x^15的次数为0.
∵(1+x+x²+x³)^5(1-x+x²-x³)^5
=[(1+x²)²-(x+x³)²]^5
=[(1+x²)²(1-x²)]^5
=[(1+x²)(1-x^4)]^5
=(1+x^2-x^4-x^6)^5
∴奇次幂项系数全为0
∴a15=0
把左边的乘开，=（1+x^2-x^4-x^6)^5,分式中无x的奇次方，所以a15*x^15=0，所以a15=0
（1+x+x^2+x^3)^5(1-x+x^2-x^3)^5
=[(1+x^2)^2-(x+x^3)^2]^5
=[(1+x^2)^2(1-x^2)]^5
=[(1+x^2)(1-x^4)]^5
=(1+x^2-x^4-x^6)^5
明显奇次幂项系数全为0
所以a15=0