已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点A,C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0)线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B,D.设点Q(x,y)为抛物线上点P至点B之间的一动点,连接PQ·BQ,当x为何值时,
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 13:16:27
已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点A,C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0)线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B,D.设点Q(x,y)为抛物线上点P至点B之间的一动点,连接PQ·BQ,当x为何值时,
已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点A,C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0)线段AB与y轴相交于点D,以P(1
,0)为顶点的抛物线过点B,D.设点Q(x,y)为抛物线上点P至点B之间的一动点,连接PQ·BQ,当x为何值时,四边形ABQP的面积最大?
已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点A,C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0)线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B,D.设点Q(x,y)为抛物线上点P至点B之间的一动点,连接PQ·BQ,当x为何值时,
由B(3,m)可知OC=3,BC=m,又△ABC为等腰直角三角形,
∴AC=BC=m,OA=m-3,
∴点A的坐标是(3-m,0).
∵∠ODA=∠OAD=45°∴OD=OA=m-3,则点D的坐标是(0,m-3).
又抛物线顶点为P(1,0),且过点B、D,
所以可设抛物线的解析式为:y=a(x-1)^2,将D,B坐标代入:
a(3-1)^2=m,a(0-1)^2=m-3,得:a=1,m=4.
∴抛物线的解析式为y=x^2-2x+1,B坐标(3,4),A(-1,0);
过点Q作QM⊥AC于点M,设点Q的坐标是(x,x^2-2x+1),
则PM=(x-1),QM= x^2-2x+1,MC=(3-x),
∴S(ABQP)=S(△ABC)-S(△PQM)-S(梯形BCMQ)
=1/2*4*4-1/2(x-1)( x^2-2x+1)-1/2(3-x)*( x^2-2x+1+4)
=-x^2+4x+1=-(x-2)^2+5,
所以当x=2时,四边形ABQP的面积最大为5.