证明 不存在n阶正交矩阵A,B 使得AA=AB+BB

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/08 16:33:35
证明不存在n阶正交矩阵A,B使得AA=AB+BB证明不存在n阶正交矩阵A,B使得AA=AB+BB证明不存在n阶正交矩阵A,B使得AA=AB+BBI表示单位阵,X^{t}表示X的转置.因为AA=AB+B

证明 不存在n阶正交矩阵A,B 使得AA=AB+BB
证明 不存在n阶正交矩阵A,B 使得AA=AB+BB

证明 不存在n阶正交矩阵A,B 使得AA=AB+BB
I表示单位阵,X^{t}表示X的转置.因为AA=AB+BB,所以A+B=AAB^{t}.由于AAB^{t}是正交阵,(A+B)^{t}(A+B)=I,化简可得:B^{t}A+A^{t}B+I=0.令C=B^{t}A,则C也是正交阵,满足C+C^{t}+I=0,两边乘以C,C^2+C+I=0.正交阵是等距变换,所以特征值只能是正负1.但是正负1都不是方程x^2+x+1=0的解,所以矛盾.

鉴于“满意回答”中有严重的逻辑错误,我给你一个正解吧。
由A+B=A^2B^T得到A+B是正交阵之后再回到原方程
0 = A^2-AB+B^2 = (A+B)(A-B) - BA
所以BA=(A+B)(A-B),这样A-B也是正交阵。
接下去把
(A+B)^T(A+B)=I

(A-B)^T(A-B)=I
相加即得矛盾。
注...

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鉴于“满意回答”中有严重的逻辑错误,我给你一个正解吧。
由A+B=A^2B^T得到A+B是正交阵之后再回到原方程
0 = A^2-AB+B^2 = (A+B)(A-B) - BA
所以BA=(A+B)(A-B),这样A-B也是正交阵。
接下去把
(A+B)^T(A+B)=I

(A-B)^T(A-B)=I
相加即得矛盾。
注意,实正交阵的特征值不一定是正负1,这是常见的误区,去看一下
http://zhidao.baidu.com/question/415771698.html
另外,这个结论对于复正交阵和酉阵也都是成立的,依赖特征值分布的方法对于复正交阵而言必然是失效的。

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