证明 不存在n阶正交矩阵A,B 使得AA＝AB+BB

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 10:33:46
证明不存在n阶正交矩阵A,B使得AA＝AB+BB证明不存在n阶正交矩阵A,B使得AA＝AB+BB证明不存在n阶正交矩阵A,B使得AA＝AB+BBI表示单位阵,X^{t}表示X的转置.因为AA=AB+B

证明 不存在n阶正交矩阵A,B 使得AA＝AB+BB
证明 不存在n阶正交矩阵A,B 使得AA＝AB+BB

证明 不存在n阶正交矩阵A,B 使得AA＝AB+BB
I表示单位阵,X^{t}表示X的转置.因为AA=AB+BB,所以A+B=AAB^{t}.由于AAB^{t}是正交阵,(A+B)^{t}(A+B)=I,化简可得：B^{t}A+A^{t}B+I=0.令C=B^{t}A,则C也是正交阵,满足C+C^{t}+I=0,两边乘以C,C^2+C+I=0.正交阵是等距变换,所以特征值只能是正负1.但是正负1都不是方程x^2+x+1=0的解,所以矛盾.

鉴于“满意回答”中有严重的逻辑错误，我给你一个正解吧。
由A+B=A^2B^T得到A+B是正交阵之后再回到原方程
0 = A^2-AB+B^2 = (A+B)(A-B) - BA
所以BA=(A+B)(A-B)，这样A-B也是正交阵。
接下去把
(A+B)^T(A+B)=I
和
(A-B)^T(A-B)=I
相加即得矛盾。
注...

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鉴于“满意回答”中有严重的逻辑错误，我给你一个正解吧。
由A+B=A^2B^T得到A+B是正交阵之后再回到原方程
0 = A^2-AB+B^2 = (A+B)(A-B) - BA
所以BA=(A+B)(A-B)，这样A-B也是正交阵。
接下去把
(A+B)^T(A+B)=I
和
(A-B)^T(A-B)=I
相加即得矛盾。
注意，实正交阵的特征值不一定是正负1，这是常见的误区，去看一下
http://zhidao.baidu.com/question/415771698.html
另外，这个结论对于复正交阵和酉阵也都是成立的，依赖特征值分布的方法对于复正交阵而言必然是失效的。

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证明 不存在n阶正交矩阵A,B 使得AA＝AB+BB 证明：不存在任意n阶矩阵A,B,使得AB-BA=E 设A,B都是n阶的正交矩阵,证明A的伴随矩阵A*也是正交矩阵 证明：不存在n阶矩阵A,B,使得AB-BA=E 尽量容易理解的证法 设a是n维列向量,A为n阶正交矩阵,证明||Aa||=|a| 设A为可逆n阶方阵,证明存在正交矩阵P,Q使得PAQ为对角矩阵 设A,B为2n阶正交矩阵,且|AB|= -1,证明存在非零向量x,使得Ax=Bx 设A为n阶正交矩阵；a,b为两个n维的向量,求证1.（Aa,Ab）=(a,b) 2.||Aa||=||A|| 设a,b属于Rn,A为正交矩阵,证明：1:|Aa|=|a|; 2：=. A是n阶正交矩阵 证明A的伴随也是正交矩阵 线性代数：n阶方阵A为正交矩阵,证明A*为正交矩阵 设A、B为n阶正交矩阵,且|A|不等于|B|.证明：A+B为不可逆矩阵. n阶矩阵A既是正交矩阵又是正定矩阵 证明A是单位矩阵 证明:不存在任何n阶矩阵A,B,使得AB-BA=E貌似这个有点杀鸡用牛刀的感觉，希望有简单的方法 证明n阶方阵A为正交矩阵的充要条件是对任意n维列向量a都有|Aa|=|a| 已知A是n阶正交矩阵,A*是A的伴随矩阵,证明A*是正交矩阵. 设A是n阶可逆矩阵,证明,存在正定对称阵P以及正交矩阵U使得A=PU 设A十一n阶实可逆矩阵,证明:存在一个正定矩阵S和一个正交阵P,使得A=PS