试证三条不同直线ax+by+c=0 bx+cy+a=0 cx+ay+b=0相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 16:15:32
试证三条不同直线ax+by+c=0 bx+cy+a=0 cx+ay+b=0相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0.
试证三条不同直线ax+by+c=0 bx+cy+a=0 cx+ay+b=0相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0.
试证三条不同直线ax+by+c=0 bx+cy+a=0 cx+ay+b=0相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0.
1,充分性：将命题转化为三个方程式公共解的条件是a+b+c=0
则有将三个方程式相加得（a+b+c)x+（a+b+c)y+a+b+c=0
当a+b+c不为0时x+y+1=0代入1式方程有a=1,b=1c=1与2,3方程式是同一式,
又因为三条直线不相同,所以a+b+c=0
2,必要性：a+b+c=0则三个方程有同一解
将三个方程式相加得（a+b+c)x+（a+b+c)y+a+b+c=0
因为a+b+c=0等式两边成立,所以三个方程式有同解
综合1,2可证三条不同直线相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0.
若a+b+c = 0
那么这三条直线显然都经过点(1,1)，代入（1，1）可知3个方程均成立
另一方面，若三条直线交于一点，将三个方程相加得
(a+b+c)(x+y+1) = 0
所以a+b+c = 0或x+y+1 = 0
若a+b+c=0，那么结论得证
若x+y+1 = 0那么
-a(y+1) + by + c = 0
-b(y+1...
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若a+b+c = 0
那么这三条直线显然都经过点(1,1)，代入（1，1）可知3个方程均成立
另一方面，若三条直线交于一点，将三个方程相加得
(a+b+c)(x+y+1) = 0
所以a+b+c = 0或x+y+1 = 0
若a+b+c=0，那么结论得证
若x+y+1 = 0那么
-a(y+1) + by + c = 0
-b(y+1) + cy + a = 0
-c(y+1) + ay + b = 0
所以y = (c-a)/(a-b) = (a-b)/(b-c) = (b-c) / (c-a)
所以y^3 = (c-a)/(a-b) *(a-b)/(b-c)*(b-c) / (c-a) = 1
所以y = 1
同理可得x=1
此时代入ax+by+c=0得a+b+c = 0
所以若三条不同直线ax+by+c=0 bx+cy+a=0 cx+ay+b=0相交于一点，那么a+b+c=0
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