cosA的八次幂加sinA的八次幂等于一,求A

cosA的八次幂加sinA的八次幂等于一,求A
cosA的八次幂加sinA的八次幂等于一,求A

cosA的八次幂加sinA的八次幂等于一,求A
cosA的八次幂加sinA的八次幂等于一,
(cos^4A+sin^4A)²-2cos^4A×sin^4A=1
cos^4A+sin^4A=(cos^2A+sin^2A)²-2cos^2A×sin^2A=1-2cos^2A×sin^2A
1-2cos^2A×sin^2A-2cos^4A×sin^4A=1
-2cos^2A×sin^2A-2cos^4A×sin^4A=0
-2cos^2A×sin^2A(1+cos^2A×sin^2A)=0
cosA×sinA=0
(1/2)sin2A=0
2A=kπ
A=kπ/2,k∈Z
也可以讨论,当cosA=0时,sinA=±1,当sinA=0时,cosA=±1,
结果应为A=kπ/2,k∈Z

A=kπ/2,k是整数

(cosA)^8＋(sinA)^8=1
[(cosA)^4＋(sin^A)4]²－2[sinAcosA]^4=1
[(sin²A＋cos²A)²－2sin²Acos²A]²－(1/8)[sin²2A]²=1
[1－(1/2)sin²2A]²－(1/8)[sin
...

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(cosA)^8＋(sinA)^8=1
[(cosA)^4＋(sin^A)4]²－2[sinAcosA]^4=1
[(sin²A＋cos²A)²－2sin²Acos²A]²－(1/8)[sin²2A]²=1
[1－(1/2)sin²2A]²－(1/8)[sin²2A]²=1 ====>>>> 设sin²2A=t
[1－(1/2)t]²－(1/8)t²=1 ====>>> －t²＋(1/4)t^4－(1/8)t²=0 ===>>> (1/4)[t²]²－(9/8)t²=0
则：t²=0 ===>>>> sin2A=0 ===>>> 2A=kπ ===>>> A=(kπ)/2 ，其中k是整数。
或 t²=9/2【舍去】

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考虑cosa^4+sina^4=(cosa^2+sina^2)^2-2cosa^2sina^2<=1
而cosa^8+sina^8=(cosa^4+sina^4)^2-2cosa^4sina^4<=1
等号成立当且仅当cosa或sina有一个为0，因此为a=kπ/2

kπ/2

cosA^8+sinA^8=(cosA^4+sinA^4)^2-2cosA^4sinA^4
=((cosA^2+sinA^2)^2-2cosA^2sinA^2)^2-2cosA^4sinA^4
=(1-2cosA^2sinA^2)^2-2cosA^4sinA^4
...

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cosA^8+sinA^8=(cosA^4+sinA^4)^2-2cosA^4sinA^4
=((cosA^2+sinA^2)^2-2cosA^2sinA^2)^2-2cosA^4sinA^4
=(1-2cosA^2sinA^2)^2-2cosA^4sinA^4
=1-4cosA^2sinA^2+4cosA^4sinA^4-2cosA^4sinA^4
=1-4cosA^2sinA^2+2cosA^4sinA^4
=1
即4cosA^2sinA^2=2cosA^4sinA^4，如果cosA，sinA都不等于0，则cosA^2sinA^2=2，因为cosA，sinA都是小于或等于1的数，因此cosA^2sinA^2=2不成立。即cosA与sinA有且只有一个等于0。所以在[0,2π]，A=0，π/2，π，3π/2，2π。；在[-∞，+∞]，A=kπ/2，k为整数。

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我提供不需要计算量得方法吧。设s=（cosA）^2 t=（sinA）^2
显然s+t=1 并且s和t都是大于等于0小于等于1
而(cosA)^8＋(sinA)^8=s^4＋t^4=1 ，注意到s^4<=s 因为s^4-s=s(s^3-1)<=0
从而1=s^4＋t^4<=s+t=1 等号成立当且仅当所有的不等号成立，故s=0或者1
即s=0 t=1 s=1...

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我提供不需要计算量得方法吧。设s=（cosA）^2 t=（sinA）^2
显然s+t=1 并且s和t都是大于等于0小于等于1
而(cosA)^8＋(sinA)^8=s^4＋t^4=1 ，注意到s^4<=s 因为s^4-s=s(s^3-1)<=0
从而1=s^4＋t^4<=s+t=1 等号成立当且仅当所有的不等号成立，故s=0或者1
即s=0 t=1 s=1 t=0 上面方可成立。故 sinA=0 或者cosA=0
然后得出答案应该就很显然了，三角函数的基本知识。我提供的是一个方法，如果觉得不错呵新颖的话就给我加分吧，希望我的回答能令您满意。

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sin∧8a+cos∧8a
=(sin∧4a+cos∧4a)∧2-2sin∧4a*cos∧4a
=[(sin∧2a+cos∧2a)∧2-2sin∧2a*cos∧2a]∧2-2sin∧4a*cos∧4a
=（1-2sin∧2a*cos∧2a）∧2-2sin∧4a*cos∧4a（因sin∧2a+cos∧2a=1）
=2sin∧4a*cos∧4a-4sin∧2a*acos...

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sin∧8a+cos∧8a
=(sin∧4a+cos∧4a)∧2-2sin∧4a*cos∧4a
=[(sin∧2a+cos∧2a)∧2-2sin∧2a*cos∧2a]∧2-2sin∧4a*cos∧4a
=（1-2sin∧2a*cos∧2a）∧2-2sin∧4a*cos∧4a（因sin∧2a+cos∧2a=1）
=2sin∧4a*cos∧4a-4sin∧2a*acos∧2a+1
因为sin∧8a+cos∧8a=1
所以2sin∧4a*cos∧4a-4sin∧2a*acos∧2a+1=1
2（sin∧2a*cos∧2a）∧2-4sin∧2a*acos∧2a=0
2sin∧2a*acos∧2a（sin∧2a*acos∧2a-2）=0
sin∧2a*acos∧2a=0或2
因为|sina|<1,|cosa||<1
所以sin∧2a*acos∧2a<1，舍去上式一根2
sin∧2a*acos∧2a=0
sin∧2a（1-sin∧2a）=0
sin∧2a=0或1
sina=0或±1
a=2kπ
表达比较繁琐，应该看得懂吧

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(28*cos(4A)+cos(8A)+35)/64=1

A=n*pi, and A=n*pi-pi/2,  n=0, +/-1, +/-2, ...