4已知整数a、b、c使等式（x+a）(x+b）+c(x-10)=（x-11)（x+1）对任何x的值均成立.求c的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 20:09:10
4已知整数a、b、c使等式（x+a）(x+b）+c(x-10)=（x-11)（x+1）对任何x的值均成立.求c的值
4已知整数a、b、c使等式（x+a）(x+b）+c(x-10)=（x-11)（x+1）对任何x的值均成立.求c的值
4已知整数a、b、c使等式（x+a）(x+b）+c(x-10)=（x-11)（x+1）对任何x的值均成立.求c的值
已知(x+a)(x+b)+c(x-10)=(x-11)(x+1)
得x^2+(a+b+c)x+ab-10c=x^2-10x-11
得(a+b+c+10)x=10c-ab-11
因为等式对任意x成立,所以x的对应系数相等
a+b+c+10=0
10c-ab-11=0
即
a+b=-10-c
ab=10c-11
所以a,b为方程x^2+(10+c)x+(10-11)=0的两整数解
所以判别式△=(10+c)^2-4(10c-11)=(c-10)^2+44 为完全平方数
不妨设(c-10)^2+44=d ^2且d>0则d^2-(c-10)^2=44
即(d+c-10)(d-c+10)=1×44=2×22=4×11
因为c和d都是整数,故得十二组方程组
d+c-10=44,d-c+10=1或者d+c-10=22,d-c+10=2或者d+c-10=11,d-c+10=4
d+c-10=1,d-c+10=44或者d+c-10=2,d-c+10=22或者d+c-10=4,d-c+10=11
d+c-10=-44,d-c+10=-1或者d+c-10=-22,d-c+10=-2或者d+c-10=-11,d-c+10=-4
d+c-10=-1,d-c+10=-44或者d+c-10=-2,d-c+10=-22或者d+c-10=-4,d-c+10=-11
解得整数解为c=20,d=12或者c=0,d=12
故得所有满足题意的C值为c=0或者c=20
zz
a+b+c=-10
a*b-10c=-11