已知函数f(x)=lnx+(a-x)/x,其中a为大于零的常数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线y=1-2x平行,求a值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 13:52:23
已知函数f(x)=lnx+(a-x)/x,其中a为大于零的常数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线y=1-2x平行,求a值
已知函数f(x)=lnx+(a-x)/x,其中a为大于零的常数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1)
处的切线与直线y=1-2x平行,求a值
已知函数f(x)=lnx+(a-x)/x,其中a为大于零的常数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线y=1-2x平行,求a值
你这样想吧.这个题考的是切线吧.那就很有可能与导相关.我们可以求导来解.
利用两线平行=>斜率相等来解.
f ' ( 1) = (x +a) / x ^2 | x=1
= 1 +a
= -2 ( 直线y=1-2x斜率）
所以 a 就应该等于 -3
依题意f'(1)=-2
由f'(x)=1/x-a/x^2
得：f'(1)=1-a=-2
得：a=3
（1）f′(x)=
ax-1
ax2
，x＞0，由函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，知a≥
1
x
在[1，+∞）上恒成立．由当x∈[1，+∞）时，
1
x
≤1，能求出a的取值范围．（2）令f′（x）=0，得x=
1
a
，当a≥
1 <...
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（1）f′(x)=
ax-1
ax2
，x＞0，由函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，知a≥
1
x
在[1，+∞）上恒成立．由当x∈[1，+∞）时，
1
x
≤1，能求出a的取值范围．（2）令f′（x）=0，得x=
1
a
，当a≥
1
2
时，f′（x）＞0在[2，+∞）上恒成立，f（x）在[2，+∞）上为增函数，f(x)min=f(2)=ln2-
1
2a
；0＜a＜
1
2
时，∵对于x∈[2，
1
a
)，有f′（x）＜0；对于x∈(
1
a
，+∞)有f′（x）＞0．故f(x)min=f(
1
a
)=ln
1
a
+1-
1
a
．由此能求出f（x）在[2，+∞）上的最小值．
（1）∵函数f（x）=lnx+1-xax，
∴f′(x)=ax-1ax2，x＞0．…（2分）
∵函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥1x在[1，+∞）上恒成立．
又∵当x∈[1，+∞）时，1x≤1，
∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．…（4分）
（2）令f′（x）=0，得x=1a，…（5分）
当1a≤2时，即a≥12时，
∵f′（x）＞0在[2，+∞）上恒成立，
这时f（x）在[2，+∞）上为增函数，
∴f(x)min=f(2)=ln2-12a．…（7分）
当0＜a＜12时，∵对于x∈[2，1a)，有f′（x）＜0；对于x∈(1a，+∞)有f′（x）＞0．…（9分）
∴f(x)min=f(1a)=ln1a+1-1a．…（11分）
综上，f（x）在[2，+∞）上的最小值为：
①当a≥12时，f(x)min=f(2)=ln2-12a．
②当0＜a＜12时，f(x)min=f(1a)=ln1a+1-1a．…（12分）
点评：本题考查求a的取值范围和求函数f（x）在区间[2，+∞）上的最小值．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．
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