大一文科数学,导数的应用证明题

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/23 17:44:24

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大一文科数学,导数的应用证明题

大一文科数学,导数的应用证明题
不妨设x1>=x2.
由微分中值定理,存在c1位于(0,x2)和c2位于(x1,x1+x2),使得
f(x2)-f(0)=f'(c1)x2
f(x1+x2)-f(x1)=f'(c2)x2,
注意到f''(x)<0,于是f'(x)是递减函数,于是
f'(c1)>f'(c2),故有
f(x1+x2)-f(x1)=f'(c2)x2移项得结论.

记c=x1+x2，d=x2-x1，
对[x1,c]用Lagrange中值定理得到(x1,c)中存在t1使得f'(t1)=f(c)-f(x1)；
对[c,x2]用Lagrange中值定理得到(c,x2)中存在t2使得f'(t2)=f(x2)-f(c)。
由于f''(x)<0，f'(x)是递减的，从而f'(t1)-f'(t2)>0，化简一下就是f(c)>f(x1)+f(x2)。

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