证明方程（x的5次方+x-1=0）只有一个正跟我是大一新生，现在只学到微分中值定理与导数的应用
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 00:21:37
证明方程（x的5次方+x-1=0）只有一个正跟我是大一新生，现在只学到微分中值定理与导数的应用
证明方程（x的5次方+x-1=0）只有一个正跟
我是大一新生，现在只学到微分中值定理与导数的应用
证明方程（x的5次方+x-1=0）只有一个正跟我是大一新生，现在只学到微分中值定理与导数的应用
f'(x)=4x^4+1恒大于0
说明f(x)=x^5+x-1为单调递增函数,与x轴只有一个交点
又因为 f(0)=-1
设f(a)=0,由于f(x)=x^5+x-1为单调递增函数,0>-1,则a>0
因此f(x)=x^5+x-1只有一个正根
另f(x)=x^5+x-1,f(x)导数为5x^2+1>0,所以f(x)单调递增，
又 f(0)=-1<0，f(1)=1>0,
所以f(x)只有一个正跟，且在（0，1）之间
因为等号左边是全区间增函数，且与纵坐标轴的交点在负半轴
记f（x）=x^5+x-1
求导一次 得导数为f'(x)=x^4（此为x的四次方）+1>0 说明f（x）在全实数上严格单调增加（即x取不同值 f（x）肯定不会一样）。
取x=-1 则f（-1）=-3<0
取x=1 则f（1）=1>0
则根据介值定理 （-1，1）上肯定至少有一点使f（x）=0
若有不止一个点使f（x）=0 不妨设x=x1和x=x2时均有f（...
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记f（x）=x^5+x-1
求导一次 得导数为f'(x)=x^4（此为x的四次方）+1>0 说明f（x）在全实数上严格单调增加（即x取不同值 f（x）肯定不会一样）。
取x=-1 则f（-1）=-3<0
取x=1 则f（1）=1>0
则根据介值定理 （-1，1）上肯定至少有一点使f（x）=0
若有不止一个点使f（x）=0 不妨设x=x1和x=x2时均有f（x）=0且x1
f'（x0）=[f（x2）-f（x1）]/(x1-x2)=0 这与f'(x)>0矛盾 则假设不成立
得证
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