证明方程x^5-5x+1=0只有一个小于1的正实根

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 02:45:33
证明方程x^5-5x+1=0只有一个小于1的正实根证明方程x^5-5x+1=0只有一个小于1的正实根证明方程x^5-5x+1=0只有一个小于1的正实根令f(x)=x^5-5x+1则f''(x)=5x^4

证明方程x^5-5x+1=0只有一个小于1的正实根
证明方程x^5-5x+1=0只有一个小于1的正实根

证明方程x^5-5x+1=0只有一个小于1的正实根

令 f(x)=x^5 -5x +1
则f'(x)=5x^4 -5=5(x^4 -1)=5(x²+1)(x²-1)
令 f'(x)>0,得 x²>1,解得 x>1或x<-1
从而 f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数。
又 f(0)=1,所以 f(0)f(-1)<0,而f(x)在(0,1)上减,即 ...

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令 f(x)=x^5 -5x +1
则f'(x)=5x^4 -5=5(x^4 -1)=5(x²+1)(x²-1)
令 f'(x)>0,得 x²>1,解得 x>1或x<-1
从而 f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数。
又 f(0)=1,所以 f(0)f(-1)<0,而f(x)在(0,1)上减,即 f(x)在(0,1)上有且只有一个零点。
从而 方程x^5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根
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令f(x)=x^5-5x+1
f'(x)=5x^4-5
当x>1或x<-1时,f'(x)>0
f(x)单调递增
f(1)=1,
∴x>1时,f(x)>f(1)=-3,无实根;
同理x<-1 f(x)-1≤x≤1时
f'(x)<0, f(x)单调递减
∵f(-1)>0,f(1)<0
f(x)...

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令f(x)=x^5-5x+1
f'(x)=5x^4-5
当x>1或x<-1时,f'(x)>0
f(x)单调递增
f(1)=1,
∴x>1时,f(x)>f(1)=-3,无实根;
同理x<-1 f(x)-1≤x≤1时
f'(x)<0, f(x)单调递减
∵f(-1)>0,f(1)<0
f(x)在整个R域连续,
∴(-1,1)之间必然有一点x0,f(x0)=0
∴方程x^5-5x+1=0只有一个小于1的正实根.

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