（sin1/x(sinx+cosx)),当x趋近无穷时,函数极限是多少?明白的不能再明白的过程!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 18:07:24
（sin1/x(sinx+cosx)),当x趋近无穷时,函数极限是多少?明白的不能再明白的过程!
（sin1/x(sinx+cosx)),当x趋近无穷时,函数极限是多少?明白的不能再明白的过程!
（sin1/x(sinx+cosx)),当x趋近无穷时,函数极限是多少?明白的不能再明白的过程!
sinx+cosx=根号2 sin（x+四分之派）
所以式子化为根号2·sin1/x· sin（x+四分之派）,当x趋近于无穷时,总有一项趋近于0,故函数的极限为0
求证：lim(x->∞) sin(1/x)*(sinx+cosx) = 0
证明：
① 对任意 ε>0 ，
要使： |sin(1/x)*(sinx+cosx) - 0| < ε 成立，
只要： |sin(1/x)*(sinx+cosx) - 0| ≤ |sin(1/x)| |sinx+cosx|
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求证：lim(x->∞) sin(1/x)*(sinx+cosx) = 0
证明：
① 对任意 ε>0 ，
要使： |sin(1/x)*(sinx+cosx) - 0| < ε 成立，
只要： |sin(1/x)*(sinx+cosx) - 0| ≤ |sin(1/x)| |sinx+cosx|
≤|sin(1/x)|(|sinx|+|cosx|)≤ 2|sin(1/x)|≤ 2|1/x| = 2/|x|<ε ，
即只要：2/ε < |x| 即可 ；
② 故存在 M =2/ε > 0 ,
③ 当 |x| > M 时，
④ 恒有： |sin(1/x)*(sinx+cosx) - 0| < ε 成立 .
∴ lim(x->∞) sin(1/x)*(sinx+cosx) = 0
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