求数列Xn=根号下(2X(n-1)+3)的通项公式.首项为a.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 19:56:06
求数列Xn=根号下(2X(n-1)+3)的通项公式.首项为a.
求数列Xn=根号下(2X(n-1)+3)的通项公式.首项为a.
求数列Xn=根号下(2X(n-1)+3)的通项公式.首项为a.
Xn=√(2Xn-1+3)=√3+2√3+2√3+...+2√(2a+3)
这个数列逐渐收敛,不可能有通项公式
首先观察到这个数列除了首项外，一定都是非负数，并且顶多只有2项是负的或者零。首项可能是负的（a>=-3/2即可），第二项可能是零，但即便如此，从第三项开始，都是正的项了。
这题要通过配方转化为等比数列来解。
先两边平方，得到 [x(n)]^2 = 2x(n-1) + 3，然后待定系数法。设
[x(n) - p]^2 = q(x(n-1) - p) （1）
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首先观察到这个数列除了首项外，一定都是非负数，并且顶多只有2项是负的或者零。首项可能是负的（a>=-3/2即可），第二项可能是零，但即便如此，从第三项开始，都是正的项了。
这题要通过配方转化为等比数列来解。
先两边平方，得到 [x(n)]^2 = 2x(n-1) + 3，然后待定系数法。设
[x(n) - p]^2 = q(x(n-1) - p) （1）
展开并整理，得到：
[x(n)]^2 = (q+2p)x(n-1) - pq - p^2，
然后对比[x(n)]^2 = 2x(n-1) + 3，就可以知道p,q必须满足：
q + 2p = 2，- pq - p^2 = 3，
解出两组
(p,q) = (3, -4)，或 (p,q) = (-1, 4)
不论哪组解是对的，都可以用递推关系（1）写出通项。对（1）式两边开平方求算术平方根，得到（注意开出来一定是带绝对值符号的）：
| x(n) - p | = sqrt (| q(x(n-1) - p) |) = sqrt (|q|) sqrt (| x(n-1) - p |)
继续写下去：
= |q|^(1/2 + 1/4) [ x(n-2) - p ] ^ (1/4)
= |q|^(1/2 + 1/4 + 1/8) [ x(n-3) - p ] ^ (1/8) [ ^(k) 是k次方的意思 ]
= ... 【中间注意找规律】
= |q|^[ 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^(n-1) ] [x(1) - p] ^ [1/2^(n-1)]
= |q|^[ 1 - 1/2^(n-1) ] |x(1) - p| ^ [1/2^(n-1)] [ 在q绝对值的指数上进行等比数列求和 ]
所以，通项解出来是两个：
x(n) = p + |q|^[ 1 - 1/2^(n-1) ] |x(1) - p| ^ [1/2^(n-1)] ；
x(n) = p - |q|^[ 1 - 1/2^(n-1) ] |x(1) - p| ^ [1/2^(n-1)]。
显然第一个通项始终大于p，第二个通项始终小于p，根据递推公式（1）式，大于p的这个通项其实对应于(p,q) = (-1, 4)这个解，因为此时q是正的，正好和x(n-1) - p这个正数乘起来，保证（1）式对任何n都有意义；同理，小于p的这个解就对应于(p,q) = (3, -4)，因为此时q是负的，正好和x(n-1) - p这个负数乘起来，同样可以保证（1）式对任何n都有意义。所以，如果题目不告诉a具体数值是多少的话，是没法排除这两个解以及对应的通项公式的。如果知道a等于多少，就可以用（1）式看看第一项是否满足：
q(a - p) >= 0，如果满足就是解。
答案：两个。
x(n) = -1 + 4^[ 1 - 1/2^(n-1) ] |a +1| ^ [1/2^(n-1)] ；
x(n) = 3 - 4^[ 1 - 1/2^(n-1) ] |a - 3| ^ [1/2^(n-1)].
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