求 lim(x→0)[(2^x+3^x)/2]^(1/2)的极限.不好意思 是求 lim(x→0)[(2^x+3^x)/2]^(1/x)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/08 03:05:46
求 lim(x→0)[(2^x+3^x)/2]^(1/2)的极限.不好意思 是求 lim(x→0)[(2^x+3^x)/2]^(1/x)
求 lim(x→0)[(2^x+3^x)/2]^(1/2)的极限.
不好意思 是求 lim(x→0)[(2^x+3^x)/2]^(1/x)
求 lim(x→0)[(2^x+3^x)/2]^(1/2)的极限.不好意思 是求 lim(x→0)[(2^x+3^x)/2]^(1/x)
lim(x→0)[(2^x+3^x)/2]^(1/x)
=e^lim(x→0)ln[(2^x+3^x)/2]/x)
[洛必达法则]
=e^lim(x→0)[(ln2*2^x+ln3*3^x)/2]*[2/(2^x+3^x)]
=e^[(ln2+ln3)/2]
=e^ln√6
=(√6)^lne
=√6
不用LHospital可以这样做：
先证一个引理:lim(x->0)(a^x-1)/x=lna
设t=a^x-1，则t->0，且x=ln(t+1)/lna
则lim(x->0)(a^x-1)/x=lim(t->0)t/(ln(t+1)/lna)=lim(t->0)lna/ln((1+t)^(1/t))=lna
再看原题
x->0则(2^x+3^x)/2->1...
全部展开
不用LHospital可以这样做：
先证一个引理:lim(x->0)(a^x-1)/x=lna
设t=a^x-1，则t->0，且x=ln(t+1)/lna
则lim(x->0)(a^x-1)/x=lim(t->0)t/(ln(t+1)/lna)=lim(t->0)lna/ln((1+t)^(1/t))=lna
再看原题
x->0则(2^x+3^x)/2->1，1/x->oo
这里介绍这种极限的通解方法：
即lim(a->1,b->oo)a^b的极限的通解方法
lim(a->1,b->oo)a^b
=lim(a->1,b->oo)(1+(a-1))^b
=lim(a->1,b->oo)((1+(a-1))^(1/(a-1)))^(b(a-1))
=lim(a->1,b->oo)e^((a-1)b)
即只需求出lim(a->1,b->oo)(a-1)b即可
对于此题即求出lim(x->0)((2^x+3^x)/2-1)/x
lim(x->0)((2^x+3^x)/2-1)/x
=lim(x->0)((2^x-1)/x+(3^x-1)/3)/2
=lim(x->0)(ln2+ln3)/2
=lim(x->0)(ln6)/2
则lim(x→0)((2^x+3^x)/2)^(1/x)
=lim(x->0)e^(((2^x+3^x)/2-1)/x)
=e^((ln6)/2)
=6^(1/2)
收起