如图,在△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,M、N分别是BC、DE的中点.猜想MN与DE有何位置关系?并说明理由.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/24 21:51:53
如图,在△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,M、N分别是BC、DE的中点.猜想MN与DE有何位置关系?并说明理由.
如图,在△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,M、N分别是BC、DE的中点.猜想MN与DE有何位置关系?并说明理由.
如图,在△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,M、N分别是BC、DE的中点.猜想MN与DE有何位置关系?并说明理由.
MN⊥DE.
证明:
连接EM ,DM,
在直角三角形BCE中,M是斜边BC的中点,
所以EM=1/2BC,
在直角三角形BCD中,M是斜边BC的中点,
所以DM=1/2BC,
所以DM=EM
所以三角形MED是等腰三角形,又因为N是ED中点,
所以MN⊥DE ﹙等腰三角形三线合一﹚
垂直
链接DM、EM
DM、EM分别是两个直角三角形斜边中线,因为直接三角形斜边中线等于斜边一半
所以DM=EM
△MDE是等腰三角形,等腰三角形底边的中线就是底边的高
所以MN垂直平分DE
连接DM和EM
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
三角形BDC中,DM=BC/2
三角形BCE中,EM=BC/2
DM=EM
MN是DE的中垂线
垂直 不用作辅助线滴~~~
因为 BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,M是中点
所以 E、D在以M为圆心BM为半径的圆周上,即ED为该圆周上的弦
又 N为中点,M为圆心,所以MN⊥DE
证明,连结BE,取BE的中点O,连结ON、OM
在△PDB与△PCE中
∵∠PBA=∠PCA PD垂直AB PE垂直AC
∴△PDB∽△PCE
∴DB:DP=EC:EP
在△DBE中,NO是中位线
所以DB:NO=2:1
同理EC:MO=2:1
∴DB:NO=EC:MO
∵∠NOE=∠DBE
又∵∠MOE=18...
全部展开
证明,连结BE,取BE的中点O,连结ON、OM
在△PDB与△PCE中
∵∠PBA=∠PCA PD垂直AB PE垂直AC
∴△PDB∽△PCE
∴DB:DP=EC:EP
在△DBE中,NO是中位线
所以DB:NO=2:1
同理EC:MO=2:1
∴DB:NO=EC:MO
∵∠NOE=∠DBE
又∵∠MOE=180°-∠CEO
∴∠MON=180°-∠CEO+∠DBE
在四边形ADPE中
∠A+90°+90°+∠DPE=360°
∴∠DPE=180°-∠A=180°-(∠CEO-∠DBE)
∴∠DPE=∠MON
因为对应边成比例,夹角相等
∴△DPE∽△NOM
∴∠PDE=∠ONM
∵ON//BD
∴∠ONE=∠BDN
∴∠MNE=∠ONE-∠ONM=∠BDN-∠PDE=90°
∴MN垂直DE.
这是利用相似做的,上面的做法忽略了证点D、P、C,三点共线,可能比较麻烦但绝对正确
收起