设函数f(x)=2x^3-3(a-1)x^2+1,其中a>=1.求f(x)的单调区间;讨论f(x)的极值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 00:48:09
设函数f(x)=2x^3-3(a-1)x^2+1,其中a>=1.求f(x)的单调区间;讨论f(x)的极值设函数f(x)=2x^3-3(a-1)x^2+1,其中a>=1.求f(x)的单调区间;讨论f(x

设函数f(x)=2x^3-3(a-1)x^2+1,其中a>=1.求f(x)的单调区间;讨论f(x)的极值
设函数f(x)=2x^3-3(a-1)x^2+1,其中a>=1.求f(x)的单调区间;讨论f(x)的极值

设函数f(x)=2x^3-3(a-1)x^2+1,其中a>=1.求f(x)的单调区间;讨论f(x)的极值
如果你学过导数,那么这个问题变得很容易了.
对原函数求一阶导数,并令它为零.得到: 6x²+6(a-1)x=0
解出 该方程的两个根是 x1=0 ; x2=(a-1)
根据题中条件 a≥1 得出原函数的单调区间为:
1) a=1时 函数整个定义域单调递增
2) a>1时 函数在(-∞ ,0)单调递增 (0 ,(a-1))单调递减 ((a-1), +∞)单调递增

f'(x)=6x^2-6(a-1)x;
当f'(x)=0时,x=0或x=a-1;
∵f''(x)=12x-6(a-1),x=(a-1)/2时,f''(x)=0;
当x<(a-1)/2时,f''(x)<0;
也就是说当x<0时,f''(x)<0;
则当x<0时,f'(x)>0;
f(x)在(-∞,0)上单调递增;
在x=0处取得极大值f(0)=...

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f'(x)=6x^2-6(a-1)x;
当f'(x)=0时,x=0或x=a-1;
∵f''(x)=12x-6(a-1),x=(a-1)/2时,f''(x)=0;
当x<(a-1)/2时,f''(x)<0;
也就是说当x<0时,f''(x)<0;
则当x<0时,f'(x)>0;
f(x)在(-∞,0)上单调递增;
在x=0处取得极大值f(0)=1;
同理可判断,x在[a-1,+∞)上单调递增;
x在[0,a-1)上单调递减;
在x=a-1处取得极小值f(a-1)=1-(a-1)^3.

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