已知M＞1,直线l：x-my-m^2/2=0椭圆C：x^2/m^2+y^2=1,F1、F2分别为椭圆的左右焦点,直线与椭圆交于A、 B,三三角形AF1F2与BF1F2垂心分别为G,H,若原点在以GH为直径的圆内,求M的范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 09:57:54
已知M＞1,直线l：x-my-m^2/2=0椭圆C：x^2/m^2+y^2=1,F1、F2分别为椭圆的左右焦点,直线与椭圆交于A、 B,三三角形AF1F2与BF1F2垂心分别为G,H,若原点在以GH为直径的圆内,求M的范围
已知M＞1,直线l：x-my-m^2/2=0椭圆C：x^2/m^2+y^2=1,F1、F2分别为椭圆的左右焦点,直线与椭圆交于A、 B,三三角形AF1F2与BF1F2垂心分别为G,H,若原点在以GH为直径的圆内,求M的范围
已知M＞1,直线l：x-my-m^2/2=0椭圆C：x^2/m^2+y^2=1,F1、F2分别为椭圆的左右焦点,直线与椭圆交于A、 B,三三角形AF1F2与BF1F2垂心分别为G,H,若原点在以GH为直径的圆内,求M的范围
分析：
三角形重心在中线上距顶点三分之二处.∠AOB=∠GOH.
若要O在以GH为直径的三角形内,则必有∠GOH为钝角（O在圆上为直角,圆外为锐角）,即∠AOB为钝角.
对于直线l,它与x,y轴焦点为（m^2/2,0）,（0,-m/2）.x轴交点在正半轴,y轴交点在负半轴.
分析完毕.
1.当 m^2/2≤m,-m/2≥-1,m>1时,即1
哦
：（Ⅰ）因为直线l：x-my- m22=0，经过F2（ m2-1，0）， 所以 m2-1= m22，得m2=2， 又因为m＞1，所以m= 2， 故直线l的方程为x- 2y-1=0． （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）． 由 {x=my+m22x2m2+y2=1，消去x得 2y2+my+ m24-1=0 则由△=m2-8（ m24-1）=-m2+8＞0，知m2＜8， 且有y1+y2=- m2，y1y2= m28- 12． 由于F1（-c，0），F2（c，0），故o为F1F2的中点， 由 AG→=2GO→， BH→=2 H0→，可知G（ x13， y1，3），h（ x23， y，2，3） |GH|2= (x1-x2)29+ (y1-y2)29 设M是GH的中点，则M（ x1+x26， y1+y26）， 由题意可知2|MO|＜|GH| 即4[（ x1+x26）2+（ y1+y26）2]＜ (x1-x2)29+ (y1-y2)29即x1x2+y1y2＜0 而x1x2+y1y2=（my1+ m22）（my2+ m22）+y1y2=（m2+1）（ m28-12） 所以（ m28-12）＜0，即m2＜4 又因为m＞1且△＞0 所以1＜m＜2． 所以m的取值范围是（1，2）．