是否存在实数a,使得函数y=acosx-cos²x+(5/8)a-1/2在闭区间【0,π/2】上的最大值是1?若存在,求出对应的a值,若不存在,试说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 06:59:52
是否存在实数a,使得函数y=acosx-cos²x+(5/8)a-1/2在闭区间【0,π/2】上的最大值是1?若存在,求出对应的a值,若不存在,试说明理由
是否存在实数a,使得函数y=acosx-cos²x+(5/8)a-1/2在闭区间【0,π/2】上的最大值是1?若存在,求出对应的a值,若不存在,试说明理由
是否存在实数a,使得函数y=acosx-cos²x+(5/8)a-1/2在闭区间【0,π/2】上的最大值是1?若存在,求出对应的a值,若不存在,试说明理由
原式可变形为：y=-(cosX-a/2)^2+(2a^2+5a-4)/8
(1)当a/2≥1时,a≥2,此时cosX=1
Ymax=13a/8-3/2=1 ==>a=20/13 无解
(2)当a/2≤-1时,a≤-2,此时cosX=0
Ymax=5a/8-1/2=1 ==>a=12//5 无解
(3)当-1≤a/2≤1时,-2≤a≤2,此时cosX=a/2
Ymax=a^2+5a/8-1/2=1 ==>2a^2+5a+4=0 △
令cosx=t,属于0到1 看成二次函数
讨论对称轴在0左边，0到1之间，1右边三种情况
由相应最大值为1看是否有解
结果是不存在
y=acosx-cos²x+(5/8)a-1/2=-(cosx -a/2)+a²/4+5a/8-1/2；
当 x 取值不受限制时（cosx=a/2），y 有极大值 a²/4+5a/8-1/2，令 y 的极大值等于 1：
即 a²/4+5a/8-1/2=1，得 a=4，或 a=-3/2；
因前有极大值条件 cosx=a/2，上面 a 的...
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y=acosx-cos²x+(5/8)a-1/2=-(cosx -a/2)+a²/4+5a/8-1/2；
当 x 取值不受限制时（cosx=a/2），y 有极大值 a²/4+5a/8-1/2，令 y 的极大值等于 1：
即 a²/4+5a/8-1/2=1，得 a=4，或 a=-3/2；
因前有极大值条件 cosx=a/2，上面 a 的两个根均无法满足，所以 y 的最大值不是极值；
剩下的只有检验区间边界上的二次函数值：
若 y(0)=a-1+5a/8-1/2=1，则 a=20/13；y(π/2)=5*(20/13)/8-(1/2)=6/13；
所以 a=20/13 符合条件；
若 y(π/2)=0-0+5a/8-1/2=1，则 a=12/5；y(0)=a-1+5a/8-1/2=13*(12/5)/8-(3/2)=9/10；
所以 a=12/5 符合条件；
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撸主绝对是五中的孩子