8点之前.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD,∠ABC=90°,∠BCD=150°,求∠BAD的度数.

8点之前.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD,∠ABC=90°,∠BCD=150°,求∠BAD的度数.
8点之前.
如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD,∠ABC=90°,∠BCD=150°,求∠BAD的度数.

8点之前.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD,∠ABC=90°,∠BCD=150°,求∠BAD的度数.
连接AC.
△ABC是直角等腰三角形.
∠bac=45°
ac=√2*ab
∠acd=150°-∠acb=105°
在△acd中
Sin∠cad/cd=Sin∠adc/ac
∵ab=cd
∴Sin∠cad=Sin（180°-∠acd-∠cad）/√2
√2Sin∠cad=Sin（75°-∠cad）
=Sin75°Cos∠cad-Sin∠cadCos75°
√2Sin∠cad+Sin∠cadCos75° =Sin75°Cos∠cad
（√2+Cos75°）*Sin∠cad=Sin75°Cos∠cad
tg∠cad = Sin75°/（√2+Cos75°）
=（ Sin45°Cos30°+Sin30°Cos45° ）
/ （√2+Cos45°Cos30°-Sin45°Sin30°）
= [（√2 /2）*（√3 /2） + （1/2）*（√2 /2） ]
/ [√2+（√2 /2）*（√3 /2）-（√2 /2）*（1/2）]
=（√2 +√6）/（3 √2+√6）
=[（√2 +√6）（3 √2-√6）]/[（3 √2+√6）（3 √2-√6）]
=(6+3√12-√12-6)/(18-6)
=√3 /3
∠cad =30°
∠bad=∠bac+∠cad=75°
答：∠bad=75° .

连接AC。
△ABC是直角等腰三角形。
∠bac=45°
ac=√2*ab
∠acd=150°-∠acb=105°
在△acd中
Sin∠cad/cd=Sin∠adc/ac
∵ab=cd
∴Sin∠cad=Sin（180°-∠acd-∠cad）/√2
√2Sin∠cad=Sin（75°-∠cad）
...

全部展开

连接AC。
△ABC是直角等腰三角形。
∠bac=45°
ac=√2*ab
∠acd=150°-∠acb=105°
在△acd中
Sin∠cad/cd=Sin∠adc/ac
∵ab=cd
∴Sin∠cad=Sin（180°-∠acd-∠cad）/√2
√2Sin∠cad=Sin（75°-∠cad）
=Sin75°Cos∠cad-Sin∠cadCos75°
√2Sin∠cad+Sin∠cadCos75° =Sin75°Cos∠cad
（√2+Cos75°）*Sin∠cad=Sin75°Cos∠cad
tg∠cad = Sin75°/（√2+Cos75°）
=（ Sin45°Cos30°+Sin30°Cos45° ）
/ （√2+Cos45°Cos30°-Sin45°Sin30°）
= [（√2 /2）*（√3 /2） + （1/2）*（√2 /2） ]
/ [√2+（√2 /2）*（√3 /2）-（√2 /2）*（1/2）]
=（√2 +√6）/（3 √2+√6）
=[（√2 +√6）（3 √2-√6）]/[（3 √2+√6）（3 √2-√6）]
=(6+3√12-√12-6)/(18-6)
=√3 /3
∠cad =30°
∠bad=∠bac+∠cad=75°
答：∠bad=75° 。
另一种方法：
连接BD。
∵bc=cd
∴bd^2=2cd^2-2cd^2*Cos150°
=2cd^2+2cd^2*Cos30°
=（2+√3）*cd^2
∵ac=√2*ab=√2*cd
∴ad^2=cd^2+ac^2-2cd*ac*Cos（150°-∠acb）
=cd^2+2cd^2+2√2cd^2*Cos75°
=3cd^2+2√2cd^2*（√6-√2）/4
=（2+√3）*cd^2
∵ad=bd
∴△abd是等腰三角形
∵∠abd=∠abc-∠cbd=90°-15°=75°
∴∠bad=∠abd=75°
答：∠bad=75° 。

收起

是有点难，这个方法貌似比较难想到，作BE∥CD且=CD，BCDE就是菱形，于是ABE就是正三角形，于是AED就是等腰，剩下的如图