正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为根号2,点S、A、B、C、D都在同一个球面上,则该球的体积为多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 08:53:55
正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为根号2,点S、A、B、C、D都在同一个球面上,则该球的体积为多少?
正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为根号2,点S、A、B、C、D都在同一个球面上,则该球的体积为多少?
正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为根号2,点S、A、B、C、D都在同一个球面上,则该球的体积为多少?
最好的办法:
这个几何体就是正四面体,边长为根号2,则这个正四面体可以由边长为1的正方体截出来的,等同于此正方体内接于球,这个球直径就是根号3,体积是2分之根号3π.
连接AC,在三角形SAC中,依题意可知 SA=SC=√2 AC=2
所以三角形SAC的外心为AC的中点
所以此球的半径为1
所以此球的体积为4π/3
正四面体S-ABC棱长a=√2,各面都是正三角形,
该球是正四面体的外接球,
底面BC上的高AD=(√3/2)*√2=√6/2,
侧棱SA的射影AH=(√3/2)*√2*(2/3)=√6/3,(重心与顶点的距离是中线长的2/3)
根据勾股定理,
正四面体高SH=√(a^2-a^2/3),
SH=2√3/3,
从一条侧棱SC中点E上作垂直平分线...
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正四面体S-ABC棱长a=√2,各面都是正三角形,
该球是正四面体的外接球,
底面BC上的高AD=(√3/2)*√2=√6/2,
侧棱SA的射影AH=(√3/2)*√2*(2/3)=√6/3,(重心与顶点的距离是中线长的2/3)
根据勾股定理,
正四面体高SH=√(a^2-a^2/3),
SH=2√3/3,
从一条侧棱SC中点E上作垂直平分线EO交高SH于O,
△SOE∽△SCH,SO=R
a*a/2=R*√6/3a,R=√3/2
当棱长是√2时,外接球半径是√3/2,
球的体积V=4πR^3/3=π/2.
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