如图所示,P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC,若O.Q分别是△ABC和△PBC的垂心求证：OQ⊥平面PBC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 11:18:22
如图所示,P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC,若O.Q分别是△ABC和△PBC的垂心求证：OQ⊥平面PBC
如图所示,P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC,若O.Q分别是△ABC和△PBC的垂心
求证：OQ⊥平面PBC
如图所示,P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC,若O.Q分别是△ABC和△PBC的垂心求证：OQ⊥平面PBC
延长BQ直线与PC交于D
延长BO直线AC交于E
则BQOEF在一个平面内
∵ O、Q为三角形ABC和PBC的垂心
∴ BD⊥PC,BE⊥AC
∵ PA⊥平面ABC,BE在平面ABC内
∴ PA⊥BE
∴ BE⊥平面PAC,PC在平面PAC内
∴ BE⊥PC
∴ PC⊥平面BED(BD、BE交线组成的平面)
∴ PC⊥OQ
同理,延长CO、CQ直线交AB、PB于F、G
可以得到BG⊥OQ
即：OQ⊥PC,OQ⊥PB
∴ OQ⊥平面PBC
本题需要注意的是,证明OQPA在一个平面内,总是觉得别扭,尽管确实他们在一个平面内.而且还要证明PQ、PO交于BC上同一个点,不证明是不能直接用的.尽管他们确实交于一点
证明：
∵ O是△AOC的垂心
∴ BC⊥AE
又∵Q是△PBC的垂心
∴BC⊥PE
∴BC⊥面APE
∵ OQ面APE，∴ OQ⊥BC．
又∵ PA⊥面ABC，BC平面ABC，
∴ BF⊥PA，又∵ O是△ABC垂心，
∴ BF⊥AC．
∴ BF⊥面PAC，则F...
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证明：
∵ O是△AOC的垂心
∴ BC⊥AE
又∵Q是△PBC的垂心
∴BC⊥PE
∴BC⊥面APE
∵ OQ面APE，∴ OQ⊥BC．
又∵ PA⊥面ABC，BC平面ABC，
∴ BF⊥PA，又∵ O是△ABC垂心，
∴ BF⊥AC．
∴ BF⊥面PAC，则FM是BM在平面PAC上的射影．
∵ BM⊥PC，据三垂线定理的逆定理，
∴ FM⊥PC，从而PC⊥平面BFM．
又OQ平面BFM，
∴ OQ⊥PC，又PC∩BC=C，
∴ OQ⊥平面PBC．
我真不爱写着符号！！贼麻烦的！！
要是满意话，还望多加几分！！
哎，真麻烦！
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