求证;X表示整数时,(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)+1是一个整数的完全平方数

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 00:19:12
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(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)+1
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1
=[(x^2+5x)+4][(x^2+5x)+6]+1
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24+1
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+25
=(x^2+5x+5)^2
所以X表示整数时,(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)+1是一个整数的完全平方数

(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)+1
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=[(x^2+5x)+4][(x^2+5x)+6]+1
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24+1
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+25
=(x^2+5x+5)^2

原式化为:[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+4)+2(x^2+5x+4)+1
=(x^2+5x+4)^2+2(x^2+5x+4)+1
=(x^2+5x+4+1)^2
即(x^2+5x+5)^2
所以原式为完全平方数.
注:”^2”为平方的意思,如:”x^2”为x的平方.

因为(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)+1=(x^2+5x+5)^2
他是x^2+5x+5的平方 。 所以得证

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