不等式x^2+(1-m)x+1>0对任意x∈ (-1,+∞)恒成立求实数m的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/30 11:39:33
不等式x^2+(1-m)x+1>0对任意x∈ (-1,+∞)恒成立求实数m的取值范围
不等式x^2+(1-m)x+1>0对任意x∈ (-1,+∞)恒成立
求实数m的取值范围
不等式x^2+(1-m)x+1>0对任意x∈ (-1,+∞)恒成立求实数m的取值范围
令f(x)=x^2+(1-m)x+1
考察x=(m-1)/2,为了方便书写,我在这就直接用T表示它
当T≤-1,即m≤-1时,只要f(-1)≥0即可,此时m≥-1
所以m=-1
当T>-1时,即m>-1时,只要f((m-1)/2)>0即可,此时-1
x²+(1-m)x+1>0
x²+2x+1+(1-m)x-2x>0
(x+1)²-(m+1)x>0
(x+1)²>=0, -(m+1)x>0, (m+1)x<0
当-1
当x=0, 原式恒成立,m∈R
当x>0, (1-m)²-4=m²-2m-3=(m+1)(m-3)<0, -1
设f(x)=x^2+(1-m)x+1>0,由题意可知
f(-1)=0,即m>-1;
f’(-1)>0,m<0;
所以m的取值范围为-1<m<0.
因为不等式的图像开口向上,所以当b^2-4ac<0时,x^2+(1-m)x+1>0对任意x∈R恒成立。
接下来只要考虑b^2-4ac=0和b^2-4ac>0的情况。
1、当b^2-4ac=0,即(1-m)^2-4=0,解得m=-1或m=3,m=3时不符合题意,故舍去,只取m=-1。
2、当b^2-4ac>0,即(1-m)^2-4>0,解得m<-1或m>3。此时不等式的图像与...
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因为不等式的图像开口向上,所以当b^2-4ac<0时,x^2+(1-m)x+1>0对任意x∈R恒成立。
接下来只要考虑b^2-4ac=0和b^2-4ac>0的情况。
1、当b^2-4ac=0,即(1-m)^2-4=0,解得m=-1或m=3,m=3时不符合题意,故舍去,只取m=-1。
2、当b^2-4ac>0,即(1-m)^2-4>0,解得m<-1或m>3。此时不等式的图像与X轴有两个交点,分别设为X1、X2(X1>X2),且X1*X2=1,X1+X2=m-1。由X1*X2=1可知,X1<0,X2<0。
要使不等式x^2+(1-m)x+1>0对任意x∈ (-1,+∞)恒成立,则有
X1=[-b+√(b^2-4ac)]/(2a)=[m-1+√(m^2-2m-3)]/2≤-1
解不等式[m-1+√(m^2-2m-3)]/2≤-1得m≥-1。
由此可知,m<-1和m>3应舍掉m<-1,取m>3。
综上1、2所述, 可知m的取值范围为:m=-1或m>3。
公式很不好打啊……你将就看,自己再算一遍也成,以免我粗心犯错。
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我算出来也是 -1
x²+x-mx+1>0
(x+1/2)²-mx+3/4>0
因为(x+1/2)²>0
-mx+3/4>或等于0即可,x最小接近-1,当x=-1时,m=-3/4
所以当M<-3/4时不等式恒成立
不等式可变型为:
(x+1/2)²+(-mx+3/4)>0
结合x的解集,可判定(x+1/2)²>=0的
由题意知,不等式恒成立
则-mx+3/4恒大于零,即可满足题意
即-mx+3/4>0
即mx<3/4对于x∈ (-1,+∞)恒成立
当x取最小值时,即x=-1时
得-m<3/4
即m>-3/4
...
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不等式可变型为:
(x+1/2)²+(-mx+3/4)>0
结合x的解集,可判定(x+1/2)²>=0的
由题意知,不等式恒成立
则-mx+3/4恒大于零,即可满足题意
即-mx+3/4>0
即mx<3/4对于x∈ (-1,+∞)恒成立
当x取最小值时,即x=-1时
得-m<3/4
即m>-3/4
不等式恒成立的话,即m必须小于0
综上得-3/4
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