我想要详解为什么.19．（2006年晋江）如图,将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放,点A1、A2、…、An分别是正方形的中心,则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）答案是四分之N cm²

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/26 05:47:25

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我想要详解为什么.
19．（2006年晋江）如图,将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放,点A1、A2、…、An分别是正方形的中心,则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）
答案是四分之N cm²

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每个正方形面积为1*1=1cm²
每个重叠部分（阴影部分）的面积都相等,均为正方形面积的1/4 【可以将每个重叠部分（阴影部分）分割成两个三角形,再利用全等等即可证明】,即每个重叠部分（阴影部分）的面积都为1/4cm²
所以
2个正方形重叠部分（阴影部分）的面积为1/4cm²
3个正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为2/4cm²
4个正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为3/4cm²
………………
所以,n个正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（n-1）/4cm²

好像这种两个完全相同正方形，一个的顶点顶在另一个中心上，绕着转无论怎么停，重叠的部分都等于正方形面积的四分之一。
至于证明，可以连接A和两个顶点，连起来后就是各为对角线的一半形成一个直角的那种。然后可以看到两个小三角形，证明它们全等就OK .

这么说太抽象了啦，还不明白就加我好了，我再跟你说。
这么证好像有些麻烦，不过很好理解的...

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就是证明一个阴影部分面积为四分之一个正方形（很简单），第一个是1/4,第二个是2/4，第三个是3/4……规律就有了，第N个便是n/4

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