求函数f(x)=x(x-1)(x-2)……(x-100)在x=0处的导数值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 02:16:59
求函数f(x)=x(x-1)(x-2)……(x-100)在x=0处的导数值求函数f(x)=x(x-1)(x-2)……(x-100)在x=0处的导数值求函数f(x)=x(x-1)(x-2)……(x-10

求函数f(x)=x(x-1)(x-2)……(x-100)在x=0处的导数值
求函数f(x)=x(x-1)(x-2)……(x-100)在x=0处的导数值

求函数f(x)=x(x-1)(x-2)……(x-100)在x=0处的导数值
f(x)=x^101+(a1)x^100+(a2)x^99+……+(a99)x^2+(a100)x
所以f(x)在x=0处的导数值为a100
也就是f(x)中x的系数
而f(x)=x(x-1)(x-2)……(x-100)
所以此系数为(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×……×(-99)×(-100)=100的阶乘
也即所求为 100!

只要知道f(x)的一次项的值,就知原函数在x=0处的导数值了.
它是-(1+2+3+...+100)=-5050,即所求

设:g(x)=(x-1)(x-2)…(x-100),则:
f(x)=(x)[g(x)],则:
f'(x)=(x)'g(x)+x[g'(x)]
=g(x)+xg'(x)
则:
f'(0)=g(0)=1×2×3×4×…×100=100!