高等数学二重积分：求x^2+y^2+z^2=R^2,与 x^2+y^2+z^2=2Rz所围成图形的体积,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 21:38:30
高等数学二重积分：求x^2+y^2+z^2=R^2,与 x^2+y^2+z^2=2Rz所围成图形的体积,
高等数学二重积分：求x^2+y^2+z^2=R^2,与 x^2+y^2+z^2=2Rz所围成图形的体积,
高等数学二重积分：求x^2+y^2+z^2=R^2,与 x^2+y^2+z^2=2Rz所围成图形的体积,
∵所围成图形是关于xz平面和yz平面对称的
∴所求体积=4×第一卦限体积
∵由x²+y²+z²=R²==>z=√(R²-x²-y²)
由x²+y²+z²=2Rz==>z=R-√(R²-x²-y²)
∴第一卦限体积是由曲面z=√(R²-x²-y²)与z=R-√(R²-x²-y²),以及xz平面和yz平面(x,y>0)所围成
∵由x²+y²+z²=R²与x²+y²+z²=2Rz解方程,得x²+y²=(√3R/2)²
∴所求体积在xy平面的投影是圆x²+y²=(√3R/2)²
故所求体积=4×第一卦限体积
=4∫∫{√(R²-x²-y²)-[R-√(R²-x²-y²)]}dxdy
=4∫∫[2√(R²-x²-y²)-R]dxdy
=4∫dθ∫[2√(R²-ρ²)-R]ρdρ (极坐标变换)
=π∫[2√(R²-ρ²)-R]d(ρ²)
=π[(-4/3)(R²-ρ²)^(3/2)-Rρ²]│
=π[(-4/3)(R²-3R²/4)^(3/2)-3R²/4+(4/3)(R²-0)^(3/2)+R*0]
=π(-R³/6-3R³/4+4R³/3)
=5πR³/12.
这是两个球体，半径都为R，圆心分别在(0,0,0)和(0,0,R)处，通过作图很容易发现要求的体积部分是一对上下对称的圆剖体，我们只需要求其中一个的体积就可以了。
将两个球在屏幕xOz投影,得到两个圆方程x^2+z^2=R^2，x^2+z^2=2Rz，联立方程组得：R^2=2Rz，z=R/2，这就是两个圆交点的Z坐标，所以平面z=R/2就是两个球的交线围成的平面
现来求球x^2+y...
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这是两个球体，半径都为R，圆心分别在(0,0,0)和(0,0,R)处，通过作图很容易发现要求的体积部分是一对上下对称的圆剖体，我们只需要求其中一个的体积就可以了。
将两个球在屏幕xOz投影,得到两个圆方程x^2+z^2=R^2，x^2+z^2=2Rz，联立方程组得：R^2=2Rz，z=R/2，这就是两个圆交点的Z坐标，所以平面z=R/2就是两个球的交线围成的平面
现来求球x^2+y^2+z^2=R^2在平面z=R/2以上部分的体积，用球坐标计算
∫[0->2π]dθ∫[0->π/3]dψ∫[0->R](p^2)sinψdp=2π∫[0->π/3](1/3)(R^3)sinψdψ
=-(2/3)π(R^3)*cosψ | [0->π/3] = (1/3)πR^3
故所求部分体积为V=2*(1/3)πR^3=(2/3)πR^3
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