已知梯形ABCD,AD平行BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3.（1）若P为AB边上任意一点,延长PD到E,使DE=PD,再以PE、PC为边作平行四边形PCQE,请探究对角线PQ的长是否存在最小值?如果存在,求出最小值,如果不存在,说明

已知梯形ABCD,AD平行BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3.（1）若P为AB边上任意一点,延长PD到E,使DE=PD,再以PE、PC为边作平行四边形PCQE,请探究对角线PQ的长是否存在最小值?如果存在,求出最小值,如果不存在,说明
已知梯形ABCD,AD平行BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3.
（1）若P为AB边上任意一点,延长PD到E,使DE=PD,再以PE、PC为边作平行四边形PCQE,请探究对角线PQ的长是否存在最小值?如果存在,求出最小值,如果不存在,说明理由.（自己画图,没给图）
（2）如图,若P为DC边上任意一点,延长PA到E,使AE=nPA（n为常数）,以PE、PB为边作平行四边形PBQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?若存在,求出最小值,若不存在,说明理由.
附：（2）图：

已知梯形ABCD,AD平行BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3.（1）若P为AB边上任意一点,延长PD到E,使DE=PD,再以PE、PC为边作平行四边形PCQE,请探究对角线PQ的长是否存在最小值?如果存在,求出最小值,如果不存在,说明
2012•连云港)已知梯形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD＝1,AB＝2,BC＝3,
问题1：如图1,P为AB边上的一点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ,DC的长能否相等,为什么?
问题2：如图2,若P为AB边上一点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ的长是否存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由．
问题3：若P为AB边上任意一点,延长PD到E,使DE＝PD,再以PE,PC为边作平行四边形PCQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由．
问题4：如图3,若P为DC边上任意一点,延长PA到E,使AE＝nPA(n为常数),以PE、PB为边作平行四边形PBQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质；根的判别式；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质.
专题：代数几何综合题.
分析：问题1：四边形PCQD是平行四边形,若对角线PQ、DC相等,则四边形PCQD是矩形,然后利用矩形的性质,设PB＝x,可得方程x2＋32＋(2－x)2＋1＝8,由判别式△＜0,可知此方程无实数根,即对角线PQ,DC的长不可能相等；
问题2：在平行四边形PCQD中,设对角线PQ与DC相交于点G,可得G是DC的中点,过点Q作QH⊥BC,交BC的延长线于H,易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ,即可求得BH＝4,则可得当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为4；
问题3：设PQ与DC相交于点G,PE∥CQ,PD＝DE,可得 ＝ ＝ ,易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ,继而求得BH的长,即可求得答案；
问题4：作QH∥PE,交CB的延长线于H,过点C作CK⊥CD,交QH的延长线于K,易证得 ＝ 与△ADP∽△BHQ,又由∠DCB＝45°,可得△CKH是等腰直角三角形,继而可求得CK的值,即可求得答案．
问题1：∵四边形PCQD是平行四边形,
若对角线PQ、DC相等,则四边形PCQD是矩形,
∴∠DPC＝90°,
∵AD＝1,AB＝2,BC＝3,
∴DC＝2 ,
设PB＝x,则AP＝2－x,
在Rt△DPC中,PD2＋PC2＝DC2,即x2＋32＋(2－x)2＋1＝8,
化简得x2－2x＋3＝0,
∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0,
∴方程无解,
∴对角线PQ与DC不可能相等．
问题2：如图2,在平行四边形PCQD中,设对角线PQ与DC相交于点G,
则G是DC的中点,
过点Q作QH⊥BC,交BC的延长线于H,
∵AD∥BC,
∴∠ADC＝∠DCH,即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH,
∵PD∥CQ,
∴∠PDC＝∠DCQ,
∴∠ADP＝∠QCH,
又∵PD＝CQ,
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ,
∴AD＝HC,
∵AD＝1,BC＝3,
∴BH＝4,
∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为4．
问题3：如图3,设PQ与DC相交于点G,
∵PE∥CQ,PD＝DE,
∴ ＝ ＝ ,
∴G是DC上一定点,
作QH⊥BC,交BC的延长线于H,
同理可证∠ADP＝∠QCH,
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ,
即 ＝ ＝ ,
∴CH＝2,
∴BH＝BG＋CH＝3＋2＝5,
∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为5．
问题4：如图3,设PQ与AB相交于点G,
∵PE∥BQ,AE＝nPA,
∴ ＝ ,
∴G是DC上一定点,
作QH∥PE,交CB的延长线于H,过点C作CK⊥CD,交QH的延长线于K,
∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴∠D＝∠QHC,∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°,∠PAG＝∠QBG,
∴∠QBH＝∠PAD,
∴△ADP∽△BHQ,
∴ ,
∵AD＝1,
∴BH＝n＋1,
∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4,
过点D作DM⊥BC于M,
则四边形ABND是矩形,
∴BM＝AD＝1,DM＝AB＝2
∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM,
∴∠DCM＝45°,
∴∠KCH＝45°,
∴CK＝CH•cos45°＝ (n＋4),
∴当PQ⊥CD时,PQ的长最小,最小值为 (n＋4)．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题难度较大,注意准确作出辅助线是解此题的关键,注意数形结合思想与方程思想的应用

高二，不会。。

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