若a>1b>1c>1,且a+b+c=1,则1/a+1/b+1/c的最小值是好多?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 05:47:17
若a>1b>1c>1,且a+b+c=1,则1/a+1/b+1/c的最小值是好多?
若a>1b>1c>1,且a+b+c=1,则1/a+1/b+1/c的最小值是好多?
若a>1b>1c>1,且a+b+c=1,则1/a+1/b+1/c的最小值是好多?
这题目的条件你是不是打错了,应该是0＜a＜1,0＜b＜1,0＜c＜1且a+b+c=1吧
用不等式3/(1/a+1/b+1/c)≤(a+b+c)/3就行了
因为所有的数都是正数
所以(1/a+1/b+1/c)(a+b+c)≥9
又a+b+c=1
所以1/a+1/b+1/c≥9
（当且仅当a=b=c=1/3时取等号）
所以1/a+1/b+1/c最小值是9
如果3/(1/a+1/b+1/c)≤(a+b+c)/3这个结论不能用,
那么我们可以来证明(1/a+1/b+1/c)(a+b+c)≥9
左边=1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1
=3+a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b（这里用基本不等式x+y≥2√xy）
≥3+2+2+2=9
（当且仅当a=b=c时等号成立）
后面就一样了
题目有误？？a,b,c>1,a+b+c=1？？
题目应该是：a>0, b>0, c>0 才合理；不然按题目的条件a>1, b>1, c>1, 则会得出a+b+c>3
1/a+1/b+1/c >=3(1/a *1/b *1/c)^(1/3)=3/(abc)^(1/3)>=3*(3/(a+b+c))=9
所以：最小值=9
当a=b=c=1/3时，取最小值
因为a+b+c=1
所以1/a+1/b+1/c
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1(a+c)/b+1(a+b)/c
=3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a
因为b/a+a/b>=2，c/a+a/c>=2，c/b+b/c>=2
所以1/a+1/b+1/c>=3+2+2+2
=9