在正方体ABCD-A1B1C1D1（下底面为ABCD）中,E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、AA1的中点求证(1)BF//HD1(2)EG//BB1D1D(3)平面BDF//面B1D1H

在正方体ABCD-A1B1C1D1（下底面为ABCD）中,E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、AA1的中点求证(1)BF//HD1(2)EG//BB1D1D(3)平面BDF//面B1D1H
在正方体ABCD-A1B1C1D1（下底面为ABCD）中,E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、AA1的中点
求证
(1)BF//HD1
(2)EG//BB1D1D
(3)平面BDF//面B1D1H

在正方体ABCD-A1B1C1D1（下底面为ABCD）中,E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、AA1的中点求证(1)BF//HD1(2)EG//BB1D1D(3)平面BDF//面B1D1H
1.取BB1中点M,连接HM,C1M
由M,F分别为BB1,CC1中点,可得BM=BB1/2,C1F=CC1/2
正方体中,易得BB1=CC1,CC1‖BB1
∴BM=C1F,BM‖C1F
∴四边形C1MBF为平行四边形,有C1M‖BF ①
由H,M分别为AA1,BB1中点,易证A1H=AA1/2,B1M=BB1/2
正方体中,易得AA1=BB1,AA1‖BB1
∴A1H=B1M,A1H‖B1M
∴四边形A1HMB1为平行四边形,有A1B1=HM,A1B1‖HM
正方体中,易得A1B1=C1D1,A1B1‖C1D1
∴HM=C1D1,HM‖C1D1
∴四边形C1D1HM为平行四边形
∴D1H‖C1M
联合①式,有BF‖D1H
2.取BD中点N,连接EN,D1N
由N,E分别为DB,CB中点,可知NE为△BDC中,边CD的中位线
有NE=CD/2,NE‖CD
∵G为C1D1中点
∴D1G=C1D1/2
正方体中,易得C1D‖CD,即D1G‖CD,且CD=C1D1
∴NE=D1G,NE‖D1G
∴NEGD1为平行四边形
∴D1N‖GE
而D1N∈面BB1D1D,且GE明显不在面BB1D1D上
∴GE‖面BB1D1D
3.在正方体中,易得BB1=DD1,BB1‖DD1
∴面B1BDD1为平行四边形
∴BD‖B1D1
由第一问结论有：BF‖D1H
而BD,BF是面BDF中的两条相交直线
B1D1,D1H是面B1D1H中的两条相交直线
∴面BDF‖面B1D1H

【方法一(欧式几何传统法）】：
（1）方法一：∵平面ADD1A1//平面BFC1B1，平面HBFD1与平面ADD1A1，平面BFC1B1分别交于D1H,BF ∴D1H//BF
方法二：用平面几何知识证明HBFD1为平行四边形。（略）
(2)方法一：取BD的中点Q,则EQ=1/2CD=1/2C1D1=D1G.EQ//CD//D1G.∴四边形QEGD1为平行四...

全部展开

【方法一(欧式几何传统法）】：
（1）方法一：∵平面ADD1A1//平面BFC1B1，平面HBFD1与平面ADD1A1，平面BFC1B1分别交于D1H,BF ∴D1H//BF
方法二：用平面几何知识证明HBFD1为平行四边形。（略）
(2)方法一：取BD的中点Q,则EQ=1/2CD=1/2C1D1=D1G.EQ//CD//D1G.∴四边形QEGD1为平行四边形 ∴D1Q//GE,∴EG//平面BB1D1D
方法二：取B1C1的中点M,连接GM,GE,则GM//D1B,ME//BB1,故平面BB1D1D//平面EMG
∴GE//平面BB1D1D
（3)容易证明HD1//BF,且D1B1//DB，∴平面BDF//平面B1D1H.
【方法二（向量法）】：
（1）以点D为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，则B(1,1,0),F(0,1,1/2)
H(1,0,1/2)D1(0,0,1),向量HD1=(-1,0,1/2),向量BF=(-1,0,1/2)
∴向量HD1=向量BF，故BF//HD1
(2)E(1/2,1,0),G(0,1/2,1)EG=(-1/2,-1/2,1)DB=(1,1,0),DD1=(0,0,1),
设平面BB1D1D的法向量为n=(x0,y0,z0)
由n*DB=0且n*DD1=0得x0+y0=0,且z0=0,令y0=1,则x0=-1∴n=(-1,1,0)
∴n*EG=(-1,1,0)(-1/2,-1/2,1)=1/2-1/2+0=0
故EG//平面BB1D1D
(3)设平面BDF的法向量为n1=(x1,y1,z1),由DB*n1=0,且BF*n2=0,即x1+y1=0且-x1+(1/2)z1=0
令x1=1,则y1=-1,z1=2，故n1=(1,-1,2).
H(1,0,1/2)D1H=(1,0,-1/2),B1(1,1,1)D1B1=(1,1,0)设平面B1D1H的法向量为n2=(x2,y2,z2),由
D1B1*n2=0,且D1H*n2=0,即x2+y2=0,且x2-1/2z2=0,令z2=2,x2=1,y2=-1,故n2=(1,-1,2)
∴n1//n2
故平面BDF//平面B1D1H

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这题很基本的，就是正方体的重要性质的考察，楼主多看些参考书就会做，没必要一定上百度提问的，自己做出来才是真谛！