已知三角形ABC为直角三角形,角BAC=90度,AD垂直于D,求证向量BC的模*2=向量DB+向量DA的模*2+向量DC+向量DA的模*2
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 13:42:15
已知三角形ABC为直角三角形,角BAC=90度,AD垂直于D,求证向量BC的模*2=向量DB+向量DA的模*2+向量DC+向量DA的模*2
已知三角形ABC为直角三角形,角BAC=90度,AD垂直于D,求证向量BC的模*2=向量DB+向量DA的模*2+向量DC+向量DA的模*2
已知三角形ABC为直角三角形,角BAC=90度,AD垂直于D,求证向量BC的模*2=向量DB+向量DA的模*2+向量DC+向量DA的模*2
向量加减用到平行四边形法则,所以
过B点做平行四边形ADBF,由于AD垂直BC,所以四边形ADBF是矩形,则有BD//AF,AD//BF,且AD=BF
过C点做平行四边形ADCF,由于AD垂直BC,所以四边形ADCE是矩形则有CD//AE,AD//CE,且AD=CE
因为BC//AF,BC//AE,所以A、F、E三点共线,AD平行等于BF,同时AD平行等于CE,则BF平行等于CE,所以四边FBCE是平行四边形且是矩形,BC=EF
平行四边形ADBF,向量DA=向量BF
平行四边形ADCF,向量DA=向量CE
所以:向量DB+向量DA=向量DB+向量BF=向量DF
同理:向量DC+向量DA=向量DC+向量CE=向量DE
所以:|向量DB+向量DA|=|向量DF| =DF (||表示向量的模)
|向量DC+向量DA|=|向量DE|=DE
|向量BC|=BC
ADBF是矩形,ADCE是矩形,FBCE是矩形,很容易证明∠FDE=90°,即:三角形FDE是直角三角形,有勾股定理知:EF^2=DF^2+DE^2
BC=EF
所以:BC^2=DF^2+DE^2
所以:|向量BC|^2=|向量DF|^2+|向量DE|^2
综上::|向量BC|^2=|向量DC+向量DA|^2+|向量DB+向量DA|^2
向量加减用到平行四边形法则,所以 过B点做平行四边形ADBF,由于AD垂直BC,所以四边形ADBF是矩形,则有BD//AF,AD//BF,且AD=BF 过C点做平行四边形ADCF,由于AD垂直BC,所以四边形ADCE是矩形则有CD//AE,AD//CE,且AD=CE 因为BC//AF,BC//AE,所以A、F、E三点共线,AD平行等于BF,同时AD平行等于CE,则BF平行等于CE,所以四边FBCE是平行四边形且是矩形,BC=EF 平行四边形ADBF,向量DA=向量BF 平行四边形ADCF,向量DA=向量CE 所以:向量DB+向量DA=向量DB+向量BF=向量DF 同理:向量DC+向量DA=向量DC+向量CE=向量DE 所以:|向量DB+向量DA|=|向量DF| =DF (||表示向量的模) |向量DC+向量DA|=|向量DE|=DE |向量BC|=BC ADBF是矩形,ADCE是矩形,FBCE是矩形,很容易证明∠FDE=90°,即:三角形FDE是直角三角形,有勾股定理知:EF^2=DF^2+DE^2 BC=EF 所以:BC^2=DF^2+DE^2 所以:|向量BC|^2=|向量DF|^2+|向量DE|^2 综上::|向量BC|^2=|向量DC+向量DA|^2+|向量DB+向量DA|^2
向量加减用到平行四边形法则,所以 过B点做平行四边形ADBF,由于AD垂直BC,所以四边形ADBF是矩形,则有BD//AF,AD//BF,且AD=BF 过C点做平行四边形ADCF,由于AD垂直BC,所以四边形ADCE是矩形则有CD//AE,AD//CE,且AD=CE 因为BC//AF,BC//AE,所以A、F、E三点共线,AD平行等于BF,同时AD平行等于CE,则BF平行等于CE,所以四边FBCE是平行四边形且是矩形,BC=EF 平行四边形ADBF,向量DA=向量BF 平行四边形ADCF,向量DA=向量CE 所以:向量DB+向量DA=向量DB+向量BF=向量DF 同理:向量DC+向量DA=向量DC+向量CE=向量DE 所以:|向量DB+向量DA|=|向量DF| =DF (||表示向量的模) |向量DC+向量DA|=|向量DE|=DE |向量BC|=BC ADBF是矩形,ADCE是矩形,FBCE是矩形,很容易证明∠FDE=90°,即:三角形FDE是直角三角形,有勾股定理知:EF^2=DF^2+DE^2 BC=EF 所以:BC^2=DF^2+DE^2 所以:|向量BC|^2=|向量DF|^2+|向量DE|^2 综上::|向量BC|^2=|向量DC+向量DA|^2+|向量DB+向量DA|^2
因为:DB·DA=0,而:|DB+DA|^2=(DB+DA)·(DB+DA)=|DB|^2+|DA|^2+2DB·DA
=|DB|^2+|DA|^2,|DB-DA|^2=(DB-DA)·(DB-DA)=|DB|^2+|DA|^2-2DB·DA=|DB|^2+|DA|^2
故:|DB+DA|=|DB-DA|,这是直角三角形里向量的性质。同理:|DC+DA|=|DC-DA|
而:AB=DB-DA,即:|AB|=|DB-DA|=|DB+DA|,同理:|AC|=|DC-DA|=|DC+DA|
而据勾股定理:|BC|^2=|AB|^2+|AC|^2=|DB+DA|^2+|DC+DA|^2,证毕。
收起