高数高手进,求具体积分过程 题为∫（t-sint）² sint dt题为定积分计算上限2π，下限0

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 16:08:18
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高数高手进,求具体积分过程 题为∫（t-sint）² sint dt题为定积分计算上限2π，下限0
高数高手进,求具体积分过程 题为∫（t-sint）² sint dt
题为定积分计算上限2π，下限0

高数高手进,求具体积分过程 题为∫（t-sint）² sint dt题为定积分计算上限2π，下限0
令t-π=x,则积分变为 ∫-(x+π+sinx)^2*sinxdx,上限为π,下限为-π
被积函数变为-[(x+sinx)^2+2π(x+sinx)+π^2]sinx
由于(x+sinx)^2*sinx和π^2sinx都是奇函数,在对称区间积分为0
所以积分变为∫-4π(x+sinx)sinxdx,上限为π,下限为0
=∫-4πxsinxdx+∫-4π(sinx)^2dx
第一个积分采用分部积分,第二个化为-2π(1-cos2x)再积分
求得结果为-6π^2

做个代换，令u=t-π。将上限变为π，下限变为-π。再结合奇函数定积分的性质、倍角公式来算。
具体过程，打出来比较麻烦，敬请谅解。

令t-π=x，积分变为 ∫-(x+π+sinx)^2*sinxdx，上限为π，下限为-π
被积函数变为-[(x+sinx)^2+2π(x+sinx)+π^2]sinx
(x+sinx)^2*sinx和π^2sinx都奇，在对称区间积分为0
积分变为∫-4π(x+sinx)sinxdx，上限为π，下限为0
=∫-4πxsinxdx+∫-4π(sinx)^2dx
求得结果为-6π^2

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