高数10,证明题,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 23:03:55
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高数10,证明题,
对于0= (b-a) f((a+b)/2),
得 (a到b) f(x)dx/(b-a) >= f((a+b)/2),左边得证.
同理,右边也能得证.
f(x)在c=(a+b)/2 处泰勒展开
f(x)=f(c)+(x-c)f'(c)+[(x-c)²/2]f''(ηx) ≥f(c)+(x-c)f'(c)
不等式两边积分可得 ∫[a到b] f(x)dx≥∫[a到b] f(c)+(x-c)f'(c)dx=f(c)(b-a)
两边除以b-a即是左边的不等式
右边不等式证明 f(x)≤ [(b...
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f(x)在c=(a+b)/2 处泰勒展开
f(x)=f(c)+(x-c)f'(c)+[(x-c)²/2]f''(ηx) ≥f(c)+(x-c)f'(c)
不等式两边积分可得 ∫[a到b] f(x)dx≥∫[a到b] f(c)+(x-c)f'(c)dx=f(c)(b-a)
两边除以b-a即是左边的不等式
右边不等式证明 f(x)≤ [(b-x)f(a)+(x-a)f(b)]/ (b-a) 即可 注：右边是过两端点的直线
f(x)在a处展开 得 f(a)=f(x)+(a-x)f'(x)+[(a-x)²/2]f''(η1)
f(b)=f(x)+(b-x)f'(x)+[(b-x)²/2]f''(η2)
(b-x)f(a)+(x-a)f(b)=(b-x)f(x)+(b-x)(a-x)f'(x)+(b-x)[(a-x)²/2]f''(η1)
+(x-a)f(x)+(b-x)(x-a)f'(x)+(x-a)[(b-x)²/2]f''(η2)
=(b-a)f(x) +(b-x)[(a-x)²/2]f''(η1)+(x-a)[(b-x)²/2]f''(η2) ≥(b-a)f(x)
两边积分得 [(b-a)²/2][f(a)+f(b)]≥(b-a) ∫[a到b] f(x)dx
将(b-a)²除掉 即可所需不等式右边
本题也可以使用f''(x)>0 f(x)为凹函数，则f(x)在 过两端点的直线下方，利用积分几何意义即可得到右边不等式
收起
对于0<L<(b-a)/2，点a+L和b-L是关于x=(a+b)/2对称的一对点，考虑f(a+L)+f(b-L)的范围