高数 泰勒公式中的余项问题

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/24 00:48:13
高数泰勒公式中的余项问题高数泰勒公式中的余项问题高数泰勒公式中的余项问题先说1,2,Peano余项的问题.其实定理叙述的比较清楚,f(x)在0的n阶Taylor展开带有一个o(x^n)的余项.从这个角

高数 泰勒公式中的余项问题
高数 泰勒公式中的余项问题



高数 泰勒公式中的余项问题
先说1,2,Peano余项的问题.
其实定理叙述的比较清楚,f(x)在0的n阶Taylor展开带有一个o(x^n)的余项.
从这个角度说cos(x)的2阶Taylor展开就是cos(x) = 1-1/2·x²+o(x²).
那么为什么又有cos(x) = 1-1/2·x²+o(x³)呢?
原因很简单,这是cos(x)的3阶Taylor展开,而cos(x)在0的3阶导数为0,所以x³项没出现.
所以不要记cos(x),sin(x)的余项加一次这种事情.
展到几阶就是几次,根据需要选择.
而图2展到2阶就够用了,没必要特意展到3阶.
关于1/(1+x²)道理是一样的,5阶导为0,所以展到5阶时没有x⁵项,且余项为o(x⁵).
但是怎么看出5阶导为0呢?
可以用Taylor展开反推高阶导数的办法.
因为我们知道1/(1+x²)的Taylor展开为1-x²+x⁴-x⁶+...没有5次项.
3,4的问题其实与余项无关.
之所以要单独讨论0 < x ≤ 1的情况,是因为1)的方法不适用.
此时x-1 ≤ 0,不在题目条件的范围内,因此对f(x-1)的大小不能估计.
而2)的方法同样不适用于x > 1,因为其依赖于|x-1| < 1.

你可以去数学吧提问，我觉得泰勒这块不用深究，会展开即可

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