已知函数f(x)=ln(1+x)-x(Ⅰ)求f(x)的单调区间(Ⅱ)记f(x)在区间[0,n],n∈N+上的最小值为bn,令an=ln(1+n)-bn1.如果对一切n,不等式√an<√(an+2)-c/√(an+2)恒成立,求实数c的取值范围2.求证:a1/a2+a1a2/a
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 20:55:37
已知函数f(x)=ln(1+x)-x(Ⅰ)求f(x)的单调区间(Ⅱ)记f(x)在区间[0,n],n∈N+上的最小值为bn,令an=ln(1+n)-bn1.如果对一切n,不等式√an<√(an+2)-c/√(an+2)恒成立,求实数c的取值范围2.求证:a1/a2+a1a2/a
已知函数f(x)=ln(1+x)-x
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)记f(x)在区间[0,n],n∈N+上的最小值为bn,令an=ln(1+n)-bn
1.如果对一切n,不等式√an<√(an+2)-c/√(an+2)恒成立,求实数c的取值范围
2.求证:a1/a2+a1a2/a2a4+……+a1a3……a(2n-1)/a2a4……a2n<2√[(2an+1)-1]
具体看图
已知函数f(x)=ln(1+x)-x(Ⅰ)求f(x)的单调区间(Ⅱ)记f(x)在区间[0,n],n∈N+上的最小值为bn,令an=ln(1+n)-bn1.如果对一切n,不等式√an<√(an+2)-c/√(an+2)恒成立,求实数c的取值范围2.求证:a1/a2+a1a2/a
1、由f(x)=ln(1+x)-x的导数为1/(x+1)-1=-x/(x+1)<0得知f(x)在(-1,∞)上单调减少.
2、所以bn=ln(1+n)-n,an=ln(n+1)-bn=n
一、√n<√(n+2)-c/√(n+2) 得 c
由于队所有n成立,而√(n+2)-√n可以任意小,且当c=1时,不等式依然成立,
所以c的范围是(-∞,1]
二、分两步证明,先用归纳法证明不等式(1) a1a3...a(2n-1)/[a2a4...a(2n)]<1/√(2n+1)
n=1时 a1/a2=1/2=1/√4<1/√3
设n=k时成立,即a1a3.a(2k-1)/[a2a4...a(2k)]<1/(√2k+1)
所以 a1a3...a(2k-1)a(2k+1)/[a2a4...a(2k)a(2k+2)]<(2k+1)/[√(2k+1)(2k+2)]
=√(2k+1)√(2k+3)/[(2k+2)√(2k+3)]
<(2k+1+2k+3)/[2(2k+2)√(2k+3)]
=1/√(2k+3)
所以当n=k+1时,不等式(1)成立.
所以对任意n>0不等式(1)成立.
第二步 运用第一问的不等式(c=1)时,1/√(n+2)<√(n+2)-√n
得a1/a2+a1a3/[a2a4]+...+a1a3...a(2n-1)/[a2a4...a(2n)<√3-√1+√5-√3+...+√(2n+1)-√(2n-1)
=√(2n+1)-1=√[a(2n)+1]-1
证毕.
1,(0,+无穷大)单调递减;(-无穷大,0)单调递增。
2,bn=ln(1+n)-n;an=n;
f(x)=ln(1+x)-x
零和负数无对数,1+x>0,定义域x>-1
f'(x) = 1/(1+x) - 1 = (1-1-x)/(1+x)=-x/(1+x)
当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,函数单调增;
当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,函数单调减。
∵函数在区间[0,n]单调减
∴bn = f(n) = ln(1+n)-n
全部展开
f(x)=ln(1+x)-x
零和负数无对数,1+x>0,定义域x>-1
f'(x) = 1/(1+x) - 1 = (1-1-x)/(1+x)=-x/(1+x)
当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,函数单调增;
当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,函数单调减。
∵函数在区间[0,n]单调减
∴bn = f(n) = ln(1+n)-n
∴an = ln(1+n)-bn = ln(1+n) - {ln(1+n)-n} = n
√an<√(an+2)-c/√(an+2)
即:√n<√(n+2)-c/√(n+2)
∵√(n+2)>0
∴√ { n(n+2) } < n+2 -c
∴c < (n+2) - √(n^2+2n)
令f(n)=n+2 - √(n^2+2n)
则f'(n)=1-(n^2+2n) '/{2√(n^2+2n)} = 2 { √(n^2+2n) - (n+1)} / {2√(n^2+2n)}
∵√(n^2+2n)<√(n+1)^2=n+1
∴f'(n)<0
∴f(n)在定义域上单调减
当n趋近于+∞时,(n+1) - √(n^2+2n) +1趋近于1+
∴c≤1,即c∈(-∞,1]
∵an=n
∴欲证明a1/a2+a1a3/a2a4+……+a1a3……a(2n-1)/a2a4……a2n < √(2an+1)-1
即相当于证明:1/2+1*3/(2*4)+......{1*3*...*(2n-1)} / {2*4*....2n) < √(2n+1)-1
用数学归纳法:
当n=1时,1/2 < 根号(2*1+1)-1=根号3 - 1,成立;
假设n=k(k属于N)时成立,即:
1/2+1*3/(2*4)+......{1*3*...*(2k-1)} / {2*4*....2k) < √(2k+1)-1
那么,当n=k+1时:
根据不等式公式: {1*3*...*(2n+1)} / {2*4*....2n)} < 1/√(2n+1),有:
{1*3*...*[2(k+1)-1] } / {2*4*....[2(k+1)] } < 1/√{2(k+1)+1} = 1/√(2k+3)
1/2+1*3/(2*4)+......{1*3*...*(2k-1)} / {2*4*....2k) + {1*3*...*[2(k+1)-1] } / {2*4*....[2(k+1)] }
< √(2k+1) -1 + {1*3*...*[2(k+1)-1] } / {2*4*....[2(k+1)] }
< √(2k+1) -1 + 1/√(2k+3)
又:(2k+2)^2 > (2k+2)^2-1
√{(2k+2)^2} > √{(2k+2)^2-1}
2k+2 > √{(2k+2)^2-1} = √{(2k+2+1)(2k+2-1)} = √{(2k+3)(2k+1)}
2k+3-1 > √{(2k+3)(2k+1)}
两边同除以√(2k+3)
√(2k+1)< √(2k+3) - 1/√(2k+3)
∴√(2k+1) -1 + 1/√(2k+3) < √(2k+3) - 1/√(2k+3) -1 + 1/√(2k+3) = √[2(k+1)+1] - 1
∴1/2+1*3/(2*4)+......{1*3*...*(2k-1)} / {2*4*....2k) + {1*3*...*[2(k+1)-1] } / {2*4*....[2(k+1)] }
< √[2(k+1)+1] - 1
综上,当n=1时成立
假设n=k(k∈N)时成立,结果n=k+1时不等式仍成立。
得证。
收起
(1)f(x)=ln(1+x)-x ≥0 (x>-1)
求导f`(x)=1/(x+1) -1
当f'(x)>0时,即有-1<x<0 同理的f'(x)<0时,x>0则
单调递增区间(-1,0);单调递减区间(0,+∞)
(2)①An=n √an<√(an+2)-c/√(an+2) 则√n<√(n+2)...
全部展开
(1)f(x)=ln(1+x)-x ≥0 (x>-1)
求导f`(x)=1/(x+1) -1
当f'(x)>0时,即有-1<x<0 同理的f'(x)<0时,x>0则
单调递增区间(-1,0);单调递减区间(0,+∞)
(2)①An=n √an<√(an+2)-c/√(an+2) 则√n<√(n+2)-c/√(n+2)
平方的n<n+2-2c+c²/(n+2) 有c²/(n+2)-2c+2>0
设f(c)=c²/(n+2)-2c+2 求导的f'(c)=2c/(n+2)-2
因为n>0 所以f'(c)=2c/(n+2)-2>0时c≤1
即c的取值范围是(-∞,1]
②已知an=n 则a1/a2≤1/2 ...........a1a3……a(2n-1)/a2a4……a2n≤1/2
所以a1/a2+a1a2/a2a4+……+a1a3……a(2n-1)/a2a4……a2n≤n/2
√[(2n+1)-1]和n/2比较,来不及写了(n+2)/2<√2n+1 恒成立。。。。。
收起