如图,以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的圆O交BC于D,过D作DE⊥AC于E.可得结论：DE是圆O的切线.问：（1）若点O在AB上向点B移动,以点O为圆心,OB为半径的圆仍交BC于D,DE⊥AC的条件不变,那么上述结论

如图,以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的圆O交BC于D,过D作DE⊥AC于E.可得结论：DE是圆O的切线.问：（1）若点O在AB上向点B移动,以点O为圆心,OB为半径的圆仍交BC于D,DE⊥AC的条件不变,那么上述结论
如图,以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的圆O交BC于D,过D作DE⊥AC于E.可得结论：DE是圆O的切线.问：
（1）若点O在AB上向点B移动,以点O为圆心,OB为半径的圆仍交BC于D,DE⊥AC的条件不变,那么上述结论是否成立?理由
（2）如果AB=AC=5 cm,sinA=3/5,那么圆心O在AB的什么位置时,圆O与AC相切?

如图,以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的圆O交BC于D,过D作DE⊥AC于E.可得结论：DE是圆O的切线.问：（1）若点O在AB上向点B移动,以点O为圆心,OB为半径的圆仍交BC于D,DE⊥AC的条件不变,那么上述结论
（1）
若点O在AB上向点B移动,以点O为圆心,
OB为半径的圆仍交BC于D,DE⊥AC的条件不变,
上述结论成立.
理由如下：连OD.
证法一：
∵AB = AC
∴∠B = ∠C-------------①
∵OB = OD
∴∠B = ∠ODB-------------②
由①②知：∠C = ∠ODB--------------③
∴ OD ‖ AC
又∵ DE⊥AC
∴ DE ⊥ OD 而点D在圆O上,
∴DE是圆O的切线.（圆的切线垂直于过切点的半径）
证法二：
∵AB = AC
∴∠B = ∠C-------------①
∵OB = OD
∴∠B = ∠ODB-------------②
由①②知：∠C = ∠ODB--------------③
∵DE⊥AC
∴∠C + ∠EDC = 90°------------④
由③④知：∠ODB + ∠EDC = 90°
∴∠ODE = 180°--（∠ODB + ∠EDC）
= 180°--90°= 90°
∴ DE ⊥ OD.而点D在圆O上,
∴DE是圆O的切线.（圆的切线垂直于过切点的半径）
第二问（2）当圆心O在AB上移动至与点B相距 15/8 的位置时,
圆O与AC相切.理由如下：
解法一：
设圆O与AC相切于点M,
连OM,则有OM ⊥ AC （圆的切线垂直于过切点的半径）
设圆O与AC相切时,圆O的半径OB = OM = r
则 AO = AB -- OB = （5 -- r）
在Rt△AOF 中
∵ sinA = OM / AO
即 3/5 = r / （5 -- r）
∴ 5r = 3（5 -- r）
∴ r = 15/8
即当圆心O在AB上移动至与点B相距 15/8 的位置时,
圆O与AC相切.
解法二：设圆O与AC相切于点M,
连OM,则有OM ⊥ AC （圆的切线垂直于过切点的半径）
设圆O与AC相切时,圆O的半径OB = OM = r
则 AO = AB -- OB = （5 -- r）
过B作BN ⊥ AC 于N,则OM ‖ BN
在Rt△ABN 中,BN = AB×sinA = 5×（3/5）= 3
由OM ‖ BN得：
OM ：BN = AO ：AB
即 r ：3 = （5 -- r）：5
∴ 5r = 3（5 -- r）
∴ r = 15/8
即当圆心O在AB上移动至与点B相距 15/8 的位置时,
圆O与AC相切.
解法三：设圆O与AC相切于点M,
连OM,则有OM ⊥ AC （圆的切线垂直于过切点的半径）
设圆O与AC相切时,圆O的半径OB = OM = r
则 AO = AB -- OB = （5 -- r）
过C作CH ⊥ AB 于 H,（利用△AOC的面积相等来求解）
则在Rt△ACH 中,CH = AC×sinA = 5×（3/5）= 3
∵ S△AOC = （1/2）× AO × CH =（1/2）× OM × AC
∴ AO × CH = OM × AC
∴（5 -- r）× 3 = r × 5
∴ r = 15/8
即当圆心O在AB上移动至与点B相距 15/8 的位置时,
圆O与AC相切.
请您注意一题多解,拓宽思路,培养自己深入探究的习惯.
有的解法在本题中稍繁琐,但在解其它题时它却又较简洁.
另外请您注意题目的变数及延伸,
①如果把本题图中的锐角∠BAC变为钝角∠BAC,结果是相同的.
②如果把第一问改为 “若点O在AB上向 点A 移动,
以点O为圆心,以OA为半径做圆,交AC于E” ,
则有新结论： BE是圆O的切线.
③如果把第一问改为 “如果AB=AC=5 cm,sinA=3/5
若点O在AB上 向 点A 移动, 以点O为圆心,以OA为半径做圆,
求点O运动至AB的什么位置时,圆O与 BC 相切”,
这一问略难,结果为 OA = 15（√10 -- 3）.
应对中考,不宜作过多的题,而宜多体会、多总结做过的典型题目,
多进行举一反三,深入挖掘,培养自己的探究、创新意识,对高中将大有裨益.

（1）成立，理由如下：
⊙O中OB=OD,∴∠OBD=∠ODB。。。。①
又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB。。。。。。②
由①②得∠ODB=∠ACB
∴OD‖AC
而DE⊥AC, 即有DE⊥OD
又D点为⊙O边上一点，
所以DE是圆O的切线
（...

全部展开

（1）成立，理由如下：
⊙O中OB=OD,∴∠OBD=∠ODB。。。。①
又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB。。。。。。②
由①②得∠ODB=∠ACB
∴OD‖AC
而DE⊥AC, 即有DE⊥OD
又D点为⊙O边上一点，
所以DE是圆O的切线
（2）设⊙O切AC于点F，连OF,
则OF⊥AC
所以sinA=3/5=OF/OA。。。③
OF为半径，即OF=OB,又AO=AB-OB,AB=5，代入③式得
3/5=OB/(6-OB)
解得 OB=15/8
所以当 OB=15/8时，⊙O于AC相切

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