渝行一号 七年级数学人教实验版（下） 第七章测评卷22.如图,△ABC中,角平分线AD、BE、CF相交于点H,过H点作HG⊥AC,垂足为G,那么∠AHE＝∠CHG,为什么?

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 20:25:15
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渝行一号 七年级数学人教实验版（下） 第七章测评卷
22.如图,△ABC中,角平分线AD、BE、CF相交于点H,过H点作HG⊥AC,垂足为G,那么∠AHE＝∠CHG,为什么?

渝行一号 七年级数学人教实验版（下） 第七章测评卷22.如图,△ABC中,角平分线AD、BE、CF相交于点H,过H点作HG⊥AC,垂足为G,那么∠AHE＝∠CHG,为什么?
因为AD、BE、CF是角平分线
所以
∠BAD＝∠BAC/2
∠ABE＝∠ABC/2
∠ACF＝∠ACB/2
所以
∠AHE＝∠BAD＋∠ABE
＝∠BAC/2＋∠ABC/2
＝(∠BAC＋∠ABC)/2
＝(180°－∠BCA)/2
＝90°－∠BCA/2
＝90°－∠ACF
＝90°－∠GCH
因为HE⊥AC
所以∠CHG＝90°－∠GCH
所以∠AHE＝∠CHG
与本题相关的另一个很常见的结论是：
∠AHC＝90°＋∠ABC
理由：
∠AHC＝180°－(∠CAH＋∠ACH)
＝180°－(∠BAC/2＋∠ACB/2)
＝180°－(∠BAC＋∠ACB)/2
＝180°－(180°－∠ABC)/2
＝90°＋∠ABC/2

由∠ABF=∠AFB,∠AFC=∠ACF得：
AB=AF=AC
所以∠ABD=∠ACD
那么∠1+∠ABD=∠ADC=∠AFC+∠2=∠ACF+∠2=∠ACD+2∠2
因此∠1=2∠2
同理∠3=2∠4

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