形如11,111,1111,11111,.的数中有完全平方数吗?说明理由!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 03:46:57
形如11,111,1111,11111,.的数中有完全平方数吗?说明理由!
形如11,111,1111,11111,.的数中有完全平方数吗?说明理由!
形如11,111,1111,11111,.的数中有完全平方数吗?说明理由!
若a^2个位是1,则a的个位是1或9
若a的个位是1
则a=10m+1
a^2=(10m+1)^2=100m^2+20m+1
=10(10m^2+2m)+1
因为10m^2+2m是偶数
所以(10m+1)^2的十位数是偶数
所以不可能是11,111,1111,11111.
若a的个位是1
则a=10m+9
a^2=(10m+9)^2=100m^2+20m+81
=100m^2+20m+80+1
=10(10m^2+2m+8)+1
因为10m^2+2m+8是偶数
所以(10m+9)^2的十位数是偶数
所以不可能是11,111,1111,11111.
于是命题得证
没有。
完全平方数有如下性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明 奇数必为下列五种形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分别平方后，得
(10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+...
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没有。
完全平方数有如下性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明 奇数必为下列五种形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分别平方后，得
(10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
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也可以用反证法，
假设如上的数列中，存在某数A是完全平方数，设A等于b的平方。
由于A是奇数，则b肯定也是奇数，
那么，根据平方差公式，(A-1)=(b+1)(b-1)，
b为奇数，那么(b+1)和(b-1)都是偶数，所以(b+1)(b-1)=(A-1)可以被4整除。
也就是说(A-1)末尾两位数一定是4的整倍数，而（A-1）末尾两位数是10。矛盾。
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也可以用反证法，
假设如上的数列中，存在某数A是完全平方数，设A等于b的平方。
由于A是奇数，则b肯定也是奇数，
那么，根据平方差公式，(A-1)=(b+1)(b-1)，
b为奇数，那么(b+1)和(b-1)都是偶数，所以(b+1)(b-1)=(A-1)可以被4整除。
也就是说(A-1)末尾两位数一定是4的整倍数，而（A-1）末尾两位数是10。矛盾。
所以，如上数列中不存在完全平方数。
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