求助一道关于微积分的题∫e^(-ax)cosbxdx(a>0,b>0)范围（+∞,0）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 20:32:46
求助一道关于微积分的题∫e^(-ax)cosbxdx(a>0,b>0)范围（+∞,0）
求助一道关于微积分的题
∫e^(-ax)cosbxdx(a>0,b>0)
范围（+∞,0）
求助一道关于微积分的题∫e^(-ax)cosbxdx(a>0,b>0)范围（+∞,0）
该题可以用多种方法做.一种是利用复数方法,一种是利用函数的反复性,把积分化为求解未知数.第一种方法用到x趋近于正无穷时,e^[(-a+ib)x]趋近于零的性质,其中要求a>0.
方法一：
由e^(ibx)=cos(bx)+isin(bx)
∫e^(-ax)e^(ibx)dx(a>0,b>0)
=∫e^(-ax+ibx)dx(a>0,b>0)
=∫e^[(-a+ib)x]dx(a>0,b>0)
=[1/(-a+ib)]*e^[(-a+ib)x],（+∞,0）
=[1/(-a+ib)]*(e^0-0)
=1/(-a+ib)
=-(a+ib)/(a^2+b^2)
因为
∫e^(-ax)e^(ibx)dx=∫e^(-ax)cos(bx)dx+i∫e^(-ax)sin(bx)dx
根据实部等于实部,虚部等于虚部
可得
∫e^(-ax)cosbxdx=-a/(a^2+b^2)
积分范围为（+∞,0）
方法二：
令I=∫e^(-ax)cos(bx)dx
则
I=∫e^(-ax)cos(bx)dx
=(1/b)∫e^(-ax)dsin(bx)
=(1/b)*e^(-ax)*sin(bx)-(1/b)∫sin(bx)de^(-ax)
=(1/b)*e^(-ax)*sin(bx)+(a/b)∫sin(bx)*e^(-ax)dx
=(1/b)*e^(-ax)*sin(bx)+(-a/b^2)∫e^(-ax)dcos(bx)
=(1/b)*e^(-ax)*sin(bx)+(-a/b^2)e^(-ax)*cos(bx)+(a/b^2)∫cos(bx)de^(-ax)
=(1/b)*e^(-ax)*sin(bx)+(-a/b^2)e^(-ax)*cos(bx)-(a^2/b^2)∫e^(-ax)cos(bx)dx
==(1/b)*e^(-ax)*sin(bx)+(-a/b^2)e^(-ax)*cos(bx)-(a^2/b^2)*I
可得
I=e^(-ax)[b*sin(bx)-acos(bx)]/(a^2+b^2)
根据积分范围为（+∞,0）,可知
I=-a/(a^2+b^2)