如图,已知P为△ABC外一点,点M、N分别为△PAB、△PBC的重心. (1)求证:MN∥平面ABC;(2)若AB=9cm,BC=6cm,∠ABC=60°,求MN的长.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 01:27:33
如图,已知P为△ABC外一点,点M、N分别为△PAB、△PBC的重心. (1)求证:MN∥平面ABC;(2)若AB=9cm,BC=6cm,∠ABC=60°,求MN的长.
如图,已知P为△ABC外一点,点M、N分别为△PAB、△PBC的重心. (1)求证:MN∥平面ABC;
(2)若AB=9cm,BC=6cm,∠ABC=60°,求MN的长.
如图,已知P为△ABC外一点,点M、N分别为△PAB、△PBC的重心. (1)求证:MN∥平面ABC;(2)若AB=9cm,BC=6cm,∠ABC=60°,求MN的长.
连接并延长PM,PN
交AC,BC分别于D,E
重心:三角形中线的交点.性质:重心为中线的三分点.
所以MD=1/3PD.NE=1/3PE
三角形PDE中
△PMN∽△PDE
故MN∥DE
且DE在面ABC中
MN在面ABC外
所以MN∥面ABC
(2)MN=2/3DE
DE=1/2AB
MN=1/3AB
由余弦定理得
cos60°=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2AB*BC)=1/2
(AB^2-45)/12AB=1/2
6AB=AB^2-45
AB=3+3√6
MN=1/3AB=1+√6
(1)连结PM,延长交AB于G,连结PN,延长交BC于H,
则G,H分别为AB,BC的中点;由重心定理有PM:PG=PN:PH=MN:GH=2:3
∴MN //GH且GH⊑平面ABC
∴MN∥平面ABC
(2)∵AB=9cm,BC=6cm,∠ABC=60°
∴AC² =AB² +BC² -2AB*BCcos60°=...
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(1)连结PM,延长交AB于G,连结PN,延长交BC于H,
则G,H分别为AB,BC的中点;由重心定理有PM:PG=PN:PH=MN:GH=2:3
∴MN //GH且GH⊑平面ABC
∴MN∥平面ABC
(2)∵AB=9cm,BC=6cm,∠ABC=60°
∴AC² =AB² +BC² -2AB*BCcos60°=63 =>AC=3√7
由(1)得GH为中位线,MN=(2:3)GH=(2/3)AC/2=√7
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