设p（x,y）为圆（x-3）的平方+y的平方=4上任意一点,则y/x最小值为多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 22:11:29
设p（x,y）为圆（x-3）的平方+y的平方=4上任意一点,则y/x最小值为多少?
设p（x,y）为圆（x-3）的平方+y的平方=4上任意一点,则y/x最小值为多少?
设p（x,y）为圆（x-3）的平方+y的平方=4上任意一点,则y/x最小值为多少?
圆（x-3）的平方+y的平方=4
是以 (3,0) 为圆心,半径是2的圆
y/x 就是圆上一点和原点的连线的斜率
那么斜率最大的就是切线
设这点为A
圆心为B
原点为O
自己画一下图
可以知道
AB⊥OA
AB 是半径所以AB=2
OB = 圆心的横坐标也就是OB = 3
那么OA = 根号(5)
所以y/x = tan(∠AOB) = 2/根号(5) = 2/5 * 根号(5)
那么最小值就是这个的负值
所以最小值为 -2/5 * 根号(5)
y/x的最小值就是从原点作圆的切线的斜率。
k=-2/(根号5)
设 k=y/x，则y=kx。
方法一：代入得 (x-3)^2+(kx)^2=4，
即 (1+k^2)x^2-6x+5=0，
由Δ=36-20(1+k^2)>=0 得
-2√5/5<=k<=2√5/5。
即 y/x 最小值为 -2√5/5。
方法二：令x=3+2cosa，y=2sina，则
2sina=k(3+2cosa)，
2sina...
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设 k=y/x，则y=kx。
方法一：代入得 (x-3)^2+(kx)^2=4，
即 (1+k^2)x^2-6x+5=0，
由Δ=36-20(1+k^2)>=0 得
-2√5/5<=k<=2√5/5。
即 y/x 最小值为 -2√5/5。
方法二：令x=3+2cosa，y=2sina，则
2sina=k(3+2cosa)，
2sina-2kcosa=3k，
利用 asinx+bcosx<=√(a^2+b^2) 的结论，由上式可得
|3k|<=√(4+4k^2)，
所以 9k^2<=4+4k^2，
解得 -2√5/5<=k<=2√5/5，
因此，y/x 的最小值为 -2√5/5。
方法三：因为圆与直线相交，所以圆心到直线的距离不超过半径，
即 |3k-0|/√(k^2+1)<=2，
所以 |3k|<=2*√(k^2+1)，
同上，解得 -2√5/5<=k<=2√5/5，
所以，y/x 的最小值为 -2√5/5。
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我给提供2种方法吧，现在要去上班，晚上回来再补充，先占个位！
下班了...
一个方法和上面的朋友的方法相同（英雄所见略同啊）
方法一：用到一个结论：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和（坐标法，向量法，余弦定理均可证明）
把平行四边形切去一半，剩下三角形和中线，由上面的结论可得，|AP|^2 |BP|^2＝(4PO^2 AB^2)/2，其中o为坐标原点。...
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我给提供2种方法吧，现在要去上班，晚上回来再补充，先占个位！
下班了...
一个方法和上面的朋友的方法相同（英雄所见略同啊）
方法一：用到一个结论：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和（坐标法，向量法，余弦定理均可证明）
把平行四边形切去一半，剩下三角形和中线，由上面的结论可得，|AP|^2 |BP|^2＝(4PO^2 AB^2)/2，其中o为坐标原点。故，要想所求平方和最小，只需PO最小（AB=2为已知）
显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心。
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2 |BP|^2的最小值＝(36 4)/2=20
方法二（和方法一殊途同归）
设P点坐标为（x，y），则|AP|^2 |BP|^2=(x 1)^2 y^2 (x-1)^2 y^2=2(x^2 y^2) 2=2PO^2 2
要想上式最小，只需PO最小，显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心。
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2 |BP|^2的最小值=20
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