一直a>b>c>d,则（1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)）*(a-d)的最小值不好意思，再加一道设来两各个不相等的正数a、b满足a^3-b^3=a^2-b^2，则a+b得取值范围是？
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 16:55:18
一直a>b>c>d,则（1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)）*(a-d)的最小值不好意思，再加一道设来两各个不相等的正数a、b满足a^3-b^3=a^2-b^2，则a+b得取值范围是？
一直a>b>c>d,则（1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)）*(a-d)的最小值
不好意思，再加一道
设来两各个不相等的正数a、b满足a^3-b^3=a^2-b^2，则a+b得取值范围是？
一直a>b>c>d,则（1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)）*(a-d)的最小值不好意思，再加一道设来两各个不相等的正数a、b满足a^3-b^3=a^2-b^2，则a+b得取值范围是？
(1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d))*(a-d)
=[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)]*[(a-b)+(b-c)+(c-d)]
=1+(b-c)/(a-b)+(c-d)/(a-b)+(a-b)/(b-c)+1+(c-d)/(b-c)+(a-b)/(c-d)+(b-c)/(c-d)+1
=3+[(b-c)/(a-b)+(a-b)/(b-c)]+[(c-d)/(a-b)+(a-b)/(c-d)]+[(c-d)/(b-c)+(b-c)/(c-d)]≥3+2+2+2=9.
当且仅当a-b=b-c=c-d,即a、b、c、d成等差数列时取“=”号.
所以,（1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)）*(a-d)的最小值为9.
因为不相等的正数a、b满足a^3-b^3=a^2-b^2,
所以,a²+ab+b²=a+b,
即b²-(a+b)b+(a+b)²-(a+b)=0,
因为b有值使上式成立,所以,
(a+b)²-4(a+b)²+4(a+b)≥0,
即3(a+b)²-4(a+b) ≤0,
得0＜(a+b)≤4/3.
最小值是9，直接运用cauchy不等式就可以了
因为a>b>c>d
故：a-b＞0，b-c＞0，c-d＞0，
又：a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)
故：[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)]*(a-d)
=[(a-b)+(b-c)+(c-d)] /(a-b)+ [(a-b)+(b-c)+(c-d)] /(b-c)+ [(a-b)+(b-c)+(c-d)] /(c-d)
=(a-b) ...
全部展开
因为a>b>c>d
故：a-b＞0，b-c＞0，c-d＞0，
又：a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)
故：[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)]*(a-d)
=[(a-b)+(b-c)+(c-d)] /(a-b)+ [(a-b)+(b-c)+(c-d)] /(b-c)+ [(a-b)+(b-c)+(c-d)] /(c-d)
=(a-b) /(a-b)+(b-c) /(a-b)+(c-d) /(a-b)+ (a-b) /(b-c)+(b-c) /(b-c)+(c-d) /(b-c)
+ (a-b) /(c-d) +(b-c) /(c-d)+(c-d) /(c-d)
=3+[(b-c) /(a-b) + (a-b) /(b-c)]+[ (c-d) /(a-b)+ (a-b) /(c-d)]+[ (c-d) /(b-c) +(c-d) /(c-d)]
≥3+2+2+2=9
故：[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)]*(a-d) 的最小值是9，此时a-b=b-c=c-d
收起
(1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d))*(a-d)
=（1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)）*((a-b)+(b-c)+(c-d))
>=(1/根号(a-b)*根号(a-b)+1/根号(b-c)*根号(b-c)+1/根号(c-d)*根号(c-d))^2
=3^2=9
这里运用了柯西不等式