A(-2,0)B(2,0),P在圆(x-3)方+(y-1)方=4上运动,|PA|方+|PB|方的最小值为?A(-2,0)B(2,0),P在圆(x-3)方+(y-1)方=4上运动,PA方+PB方的最小值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 15:05:49
A(-2,0)B(2,0),P在圆(x-3)方+(y-1)方=4上运动,|PA|方+|PB|方的最小值为?A(-2,0)B(2,0),P在圆(x-3)方+(y-1)方=4上运动,PA方+PB方的最小值为?
A(-2,0)B(2,0),P在圆(x-3)方+(y-1)方=4上运动,|PA|方+|PB|方的最小值为?
A(-2,0)B(2,0),P在圆(x-3)方+(y-1)方=4上运动,PA方+PB方的最小值为?
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解法一：代数计算,
因为点P在圆(x-3)^2+(y-1)^2=4,可设P点坐标为(3+2*cos α,1+2*sin α),α∈[-π, π).
于是 |PA|^2=(5+2*cos α)^2+(1+2*sin α)^2,
|PB|^2=(1+2*cos α)^2+(1+2*sin α)^2,
|PA|^2+|PB|^2=(5+2*cos α)^2+(1+2*sin α)^2+(1+2*cos α)^2+(1+2*sin α)^2
=36+24*cos(α)+8*sin(α)
=36+√[24^2+8^2]*sin(α+θ)
=36+8√10*sin(α+θ) （其中 θ=arctan 3 ）,
当α=π/2-θ=π/2-arctan 3时,|PA|^2+|PB|^2取得最大值36+8√10.
当α=-π/2-θ=-π/2-arctan 3时,|PA|^2+|PB|^2取得最小值36-8√10.
（根据α的取值可以很容易算出对于的点P的坐标.）
解法二：数形结合
设P点坐标为P(x, y),设|PA|^2+|PB|^2=L,
则(x+2)^2+y^2+(x-2)^2+y^2=L,化简得：
x^2+y^2=L/2-4.
即点P也在圆x^2+y^2=L/2-4上,又点P在圆(x-3)^2+(y-1)^2=4,故点P在这两个圆的交点上.或者说只有当两个圆有交点时,对圆上的点P,|PA|^2+|PB|^2才能取值L.
L越小,圆x^2+y^2=L/2-4的半径也越小.在两个圆有公共点的情况下,当两圆外切时,圆x^2+y^2=L/2-4的半径最小；当两圆内切时,圆x^2+y^2=L/2-4半径最大.如图所示.（注意,两个图的比例不一样）
两个圆的圆心距为d=(3^2+1^2)^(1/2)=√10,
圆(x-3)^2+(y-1)^2=4的半径为R=2,
故圆x^2+y^2=L/2-4的最大半径为r1=d+R=√10+2,此时L/2-4=r1^2=(√10+2)^2,L_max=(√10+2)^2*2+8=36+8√10；
故圆x^2+y^2=L/2-4的最小半径为r2=d-R=√10-2,此时L/2-4=r2^2=(√10-2)^2,L_min=(√10-2)^2*2+8=36-8√10；
亦即,|PA|^2+|PB|^2最大值为36+8√10,最小值为36-8√10.
如果还要求出取得最值时点P的坐标,可以这样计算：
切点为两个圆的圆心所在直线与两个圆的交点（当然也是圆(x-3)^2+(y-1)^2=4与连心线的交点）.两圆圆心所在直线方程为：y=x/3,与已知圆方程(x-3)^2+(y-1)^2=4联立,可求得两组解,一个是外切（取最小值）的情况,另一个为内切（取最大值）的情况.