已知数据X1,X2,...Xn的方差是s^2,求数据aX1+b,aX2+b,...,aXn+b的方差.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/30 08:57:37
已知数据X1,X2,...Xn的方差是s^2,求数据aX1+b,aX2+b,...,aXn+b的方差.
已知数据X1,X2,...Xn的方差是s^2,求数据aX1+b,aX2+b,...,aXn+b的方差.
已知数据X1,X2,...Xn的方差是s^2,求数据aX1+b,aX2+b,...,aXn+b的方差.
aX1+b,aX2+b,...,aXn+b的方差是a^2s^2
每个数据都加上或减去同一个数不影响其方差的大小.
设X1,X2,......,Xn平均数为m
即 （X1+X2+X3.+Xn)/n=m
则 aX1+b,aX2+b,......,aXn+b平均数为
(aX1+b+aX2+b,......+aXn+b)/n
=a(x1+x2.+xn)+nb/n
=am+b
因X1,X2,......,Xn的方差为S^2
所以(X1-m)^2+(X2-m)^2.+(Xn-m)^2/n=S^2
aX1+b,aX2+b,......,aXn+b的方差为
(aX1+b-am-b)^2+(aX2+b-am-b)^2.+(aXn+b-am-b)^2/n
=a^2(x1-m)^2+a^2(x2-m)^2.+a^2(xn-m)^2/n
=a^2*(X1-m)^2+(X2-m)^2.+(Xn-m)^2/n
=a^2×S ^2
a^2乘以s^2
aX1+b，aX2+b，...，aXn+b的平均数是
(a/n)(x1+x2+...xn) +b
所以
aX1+b，aX2+b，...，aXn+b的方差
=(1/n)[(ax1+b-(a/n)(x1+x2+....xn)-b)^2 +(ax2+b-(a/n)(x1+x2+....xn)-b)^2)+....(axn+b-(a/n)(x1+x2+....xn)-b)^...
全部展开
aX1+b，aX2+b，...，aXn+b的平均数是
(a/n)(x1+x2+...xn) +b
所以
aX1+b，aX2+b，...，aXn+b的方差
=(1/n)[(ax1+b-(a/n)(x1+x2+....xn)-b)^2 +(ax2+b-(a/n)(x1+x2+....xn)-b)^2)+....(axn+b-(a/n)(x1+x2+....xn)-b)^2
=(1/n)[(ax1-(a/n)(x1+x2+....xn))^2 +(ax2-(a/n)(x1+x2+....xn))^2+....(axn+b-(a/n)(x1+x2+....xn))^2
=a^2(1/n)[(x1+(1/n)(x1+x2+....xn))^2 +(x2+(1/n)(x1+x2+....xn))^2)+....(xn+(1/n)(x1+x2+....xn))^2
=a^2*s^2
第二个等号到第三个等号是提公因式a^2
收起