菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2(1)设△BEF的面积为S,求S的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 09:52:53
菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2(1)设△BEF的面积为S,求S的取值范围.
菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2
(1)设△BEF的面积为S,求S的取值范围.
菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2(1)设△BEF的面积为S,求S的取值范围.
首先：边长为a的等边三角形面积S=√3·a²／4 ﹙这个结论你自己可以求证﹚
∵菱形ABCD ∴AB=AD=2 又∵BD=2 ∴⊿ABD是等边三角形 ∴∠A=∠ABD=60º
∴菱形ABCD中 ∠ADC=∠ABD=120º ∴∠CBD=60º=∠BDC﹙菱形对角线的性质﹚
∴∠A=∠BDC=60º
∵CD=2即CF＋DF=2,又∵AE+CF=2 ∴AE=DF
又∵AB=BD=2 ∴⊿ABE≌⊿DBF ﹙SAS﹚ ∴BE=BF ∠ABE=∠DBF
∵∠ABD=60º即∠ABE＋∠EBD=60º ∴∠DBF＋∠EBD=60º即∠EBF=60º
∴⊿EBF是等边三角形 ∴S⊿BEF=√3·BE²／4
∵点E是AD边上的一个动点
∴当E移动到线段AD中点时---BE最小；当E移动到线段AD的点A或D时----BE最大,是2
而当E移动到线段AD中点时AE=1且根据等边三角形性质可知：∠BEA=90º ∴根据勾股定理
得此时BE=√3
∴√3≤BE≤2 ∴ 3≤BE²≤4 ∴3√3／4≤S⊿BEF≤√3
如下图所示
棱长为2，BD=2，AE+CF=2，ΔBEF=S
∵AB=AD=BC=CD=BD=2
∴∠DAO=∠DCO=1/2∠BAD=1/2∠BCD=30°
∴AG+CH=(AE+CF)* cos30°=2*√3/2=√3
而AC总长为2√3，所以ΔBEF竖直距离就应该是2√3-√3=√3
而横向距离随着E、F的移动而移动
极限位置是E无限...
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如下图所示
棱长为2，BD=2，AE+CF=2，ΔBEF=S
∵AB=AD=BC=CD=BD=2
∴∠DAO=∠DCO=1/2∠BAD=1/2∠BCD=30°
∴AG+CH=(AE+CF)* cos30°=2*√3/2=√3
而AC总长为2√3，所以ΔBEF竖直距离就应该是2√3-√3=√3
而横向距离随着E、F的移动而移动
极限位置是E无限接近A，F是无限接近D，那横向距离是2
还有个极限位置是E,F各为AD,CD中点，那横向距离是3/2
ΔBEF=S最大值为1/2*2*√3=√3
ΔBEF=S最小值为1/2*3/2*√3=3√3/4
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