一道几何证明题目!在凸多边形ABCD中,对角线AC平分角∠BAD,在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证：∠GAC=∠EA!图形很简单就可以画出来了!希望大侠帮忙.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 15:20:53
一道几何证明题目!在凸多边形ABCD中,对角线AC平分角∠BAD,在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证：∠GAC=∠EA!图形很简单就可以画出来了!希望大侠帮忙.
一道几何证明题目!
在凸多边形ABCD中,对角线AC平分角∠BAD,在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证：∠GAC=∠EA!
图形很简单就可以画出来了!希望大侠帮忙.
一道几何证明题目!在凸多边形ABCD中,对角线AC平分角∠BAD,在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证：∠GAC=∠EA!图形很简单就可以画出来了!希望大侠帮忙.
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在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD.在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G.求证：∠GAC=∠EAC.
证明：连结BD交AC于H.对△BCD用塞瓦定理,可得
因为AH是∠BAD的角平分线,由角平分线定理,
可得,故.
过C作AB的平行线交AG的延长线于I,过C作AD的平行线交AE的延长线于J.
则,
所以,从而CI=CJ.
又因为CI//AB,CJ//AD,故∠ACI=π-∠BAC=π-∠DAC=∠ACJ.
因此,△ACI≌△ACJ,从而∠IAC=∠JAC,即∠GAC=∠EAC.
备注
塞瓦定理 在△ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 （Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：∵△ADC被直线BOE所截,∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ABD被直线COF所截,∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点.可用塞瓦定理证明的其他定理; 三角形三条中线交于一点（重心）:如图5 D ,E分别为BC ,AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点 此外,可用定比分点来定义塞瓦定理：在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点,又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB.于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1.（注意与梅涅劳斯定理相区分,那里是λμν=-1）
看图说话，，共圆问题